- Pré-ordre
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Un pré-ordre (ou préordre[1]) est une relation binaire réflexive et transitive.
C'est-à-dire, si E est un ensemble, alors
est un pré-ordre si et seulement si :
(réflexivité)![\forall (x, y, z) \in E^3 \quad \left[(x,y)\in {\mathcal R} \and (y,z)\in {\mathcal R} \implies (x,z)\in{\mathcal R}\right]](4/cd4a58e92e62828961a1e3fb3f0fe2a0.png)
(transitivité)
Un pré-ordre antisymétrique est un ordre.
Un pré-ordre symétrique est une relation d'équivalence.
Exemples
- Sur les sommets d'un graphe orienté, la relation « être accessible depuis » est un pré-ordre (c'est en fait la fermeture réflexive et transitive du graphe). Si le graphe est sans cycle, cette relation devient un ordre.
- Dans un anneau commutatif, la relation « divise » est une relation de préordre.
Compléments
Si E et F sont des ensembles préordonnés par des relations de préordre qu'on notera toutes deux ≤, une application f de E dans F est dite[2] croissante si, pour toute paire d'éléments (x,y) de E tels que x ≤ y, on a aussi f(x) ≤ f(y).
Dans un ensemble E préordonné par une relation de préordre ≤, la relation « x ≤ y et y ≤ x » est une relation d'équivalence. Pour deux éléments X et Y de l'ensemble quotient, les deux conditions suivantes reviennent au même :
- pour tout élément x de X et tout élément y de Y, x ≤ y ;
- il existe un élément x de X et un élément y de Y tels que x ≤ y.
Ces conditions équivalentes constituent une relation d'ordre dans l'ensemble quotient de E par la relation d'équivalence « x ≤ y et y ≤ x »[3].
Notes et références
- N. Bourbaki, Théorie des ensembles, ch. III, § 1, n° 2, (Paris, Masson, 1998, p. 2 et 5) écrit « préordre » et « préordonné ».
- N. Bourbaki, Théorie des ensembles, ch. III, § 1, n° 5, (Paris, Masson, 1998, p. 7).
- N. Bourbaki, Théorie des ensembles, ch. III, § 1, n° 2, (Paris, Masson, 1998, p. 3).
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