- Polynôme de laguerre
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Polynôme de Laguerre
En mathématiques, les polynômes de Laguerre, nommés d'après Edmond Laguerre (1834 - 1886), sont les solutions de l'équation de Laguerre :
qui est une équation différentielle linéaire du second ordre. Cette équation a des solutions non singulières seulement si n est un entier positif.
Ces polynômes, traditionnellement notés , forment une suite de polynômes qui peut être définie par la formule de Rodrigues
Ils sont orthogonaux les uns par rapport aux autres pour le produit scalaire défini par
La séquence des polynômes de Laguerre est une suite de Sheffer.
Les polynômes de Laguerre apparaissent en mécanique quantique dans la partie radiale de la solution de l'équation de Schrödinger pour un atome à un électron.
Les physiciens utilisent souvent une définition des polynômes de Laguerre où les polynômes sont multipliés par un facteur (n!) par rapport à la définition donnée ici.
Sommaire
Les quelques premiers polynômes
Voici les premiers polynômes de Laguerre:
n 0 1 2 3 4 5 6 Propriétés
La fonction génératrice pour les polynômes de Laguerre est
- .
Le n-ième polynôme de Laguerre satisfait l'équation différentielle suivante :
On a aussi la suite récurrente suivante :
Les polynômes satisfont la propriété
Expression par une intégrale de contour
Les polynômes peuvent être exprimés en termes d'une intégrale de contour
où le contour entoure l'origine une fois dans le sens trigonométrique.
Polynômes de Laguerre généralisés
La propriété d'orthogonalité évoquée plus haut revient à dire que si X est une variable aléatoire distribuée exponentiellement avec la fonction densité de probabilité
alors
La distribution exponentielle n'est pas la seule distribution Gamma. Une séquence polynomiale orthogonale par rapport à la distributoin gamma dont la fonction densité de probabilité est, pour α > − 1,
(cf fonction gamma) est donnée par l'équation de Rodrigues pour les polynômes de Laguerre généralisés:
Ils sont parfois appelés les polynômes de Laguerre associés. On retrouve les polynômes de Laguerre simples en prenant α = 0:
Les polynômes de Laguerre généralisés sont orthogonaux sur par rapport à la fonction de poids xαe − x:
Les polynômes de Laguerre généralisés obéissent à l'équation différentielle
Exemples de polynômes de Laguerre généralisés
Les premiers polynômes de Laguerre généralisés sont
Dérivées des polynômes de Laguerre généralisés
En différentiant la représentation en série d'un polynôme de Laguerre généralisé k fois conduit à
Relation aux polynômes d'Hermite
Les polynômes de Laguerre généralisés apparaissent dans le traitement de l'oscillateur harmonique quantique, à cause de leur relation aux polynômes d'Hermite, qui peuvent être exprimés par
et
où les Hn(x) sont les polynômes d'Hermite.
Relation aux fonctions hypergéométriques
Les polynômes de Laguerre peuvent être reliés aux fonctions hypergéométriques, plus précisément aux fonctions hypergéométriques confluentes, par
où (a)n est le symbole de Pochhammer (qui, dans ce cas particulier, est utilisé pour représenter la factorielle croissante a(a + 1)(a + 2)...(a + n − 1)).
Liens externes
References
- Modèle:Abramowitz Stegun ref
- Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial", From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- (en) George Arfken and Hans Weber, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, 2000
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