Polynôme de laguerre

Polynôme de Laguerre

En mathématiques, les polynômes de Laguerre, nommés d'après Edmond Laguerre (1834 - 1886), sont les solutions de l'équation de Laguerre :

$x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,$

qui est une équation différentielle linéaire du second ordre. Cette équation a des solutions non singulières seulement si n est un entier positif.

Ces polynômes, traditionnellement notés $L_0, L_1, \dots$ , forment une suite de polynômes qui peut être définie par la formule de Rodrigues

$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right).$

Ils sont orthogonaux les uns par rapport aux autres pour le produit scalaire défini par

$\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^{-x}\,dx.$

La séquence des polynômes de Laguerre est une suite de Sheffer.

Les polynômes de Laguerre apparaissent en mécanique quantique dans la partie radiale de la solution de l'équation de Schrödinger pour un atome à un électron.

Les physiciens utilisent souvent une définition des polynômes de Laguerre où les polynômes sont multipliés par un facteur $(n!)$ par rapport à la définition donnée ici.

Sommaire

1 Les quelques premiers polynômes
2 Propriétés
3 Expression par une intégrale de contour
4 Polynômes de Laguerre généralisés
- 4.1 Exemples de polynômes de Laguerre généralisés
- 4.2 Dérivées des polynômes de Laguerre généralisés
5 Relation aux polynômes d'Hermite
6 Relation aux fonctions hypergéométriques
7 Liens externes
8 References

Les quelques premiers polynômes

Voici les premiers polynômes de Laguerre:

n	$L_n(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+1\,$
2	$\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (x^2-4x+2) \,$
3	$\begin{matrix}\frac16\end{matrix} (-x^3+9x^2-18x+6) \,$
4	$\begin{matrix}\frac1{24}\end{matrix} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,$
5	$\begin{matrix}\frac1{120}\end{matrix} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,$
6	$\begin{matrix}\frac1{720}\end{matrix} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,$

Les 6 premiers polynômes de Laguerre.

Propriétés

La fonction génératrice pour les polynômes de Laguerre est

$\frac{e^{-xt/(1-t)}}{1-t} = \sum_{n=0}^\infty L_n(x) \frac{t^n}{n!}\,$ .

Le n-ième polynôme de Laguerre satisfait l'équation différentielle suivante :

$x L_n''(x)+ (1-x)L_n'(x)+ n L_n(x)=0.\,$

On a aussi la suite récurrente suivante :

$(n+1)L_{n+1}(x)+ (x-2n-1) L_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0.\,$

Les polynômes satisfont la propriété

$x L_n'(x)-nL_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0,\,$

Expression par une intégrale de contour

Les polynômes peuvent être exprimés en termes d'une intégrale de contour

$L_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}} \; dt$

où le contour entoure l'origine une fois dans le sens trigonométrique.

Polynômes de Laguerre généralisés

La propriété d'orthogonalité évoquée plus haut revient à dire que si X est une variable aléatoire distribuée exponentiellement avec la fonction densité de probabilité

$f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x} & \mbox{si}\ x>0, \\ 0 & \mbox{si}\ x<0, \end{matrix}\right.$

alors

$E(L_n(X),L_m(X))=0\ \mbox{si}\ n\neq m.$

La distribution exponentielle n'est pas la seule distribution Gamma. Une séquence polynomiale orthogonale par rapport à la distributoin gamma dont la fonction densité de probabilité est, pour $α > - 1$ ,

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^\alpha e^{-x}/\Gamma(1+\alpha) & \mbox{si}\ x>0, \\ 0 & \mbox{si}\ x<0, \end{matrix}\right.$

(cf fonction gamma) est donnée par l'équation de Rodrigues pour les polynômes de Laguerre généralisés:

$L_n^{(\alpha)}(x)= {x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right) .$

Ils sont parfois appelés les polynômes de Laguerre associés. On retrouve les polynômes de Laguerre simples en prenant α = 0:

$L^{(0)}_n(x)=L_n(x).$

Les polynômes de Laguerre généralisés sont orthogonaux sur $[0,\infty)$ par rapport à la fonction de poids $x α e - x$ :

$\int_0^{\infty}e^{-x}x^\alpha L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{nm}.$

Les polynômes de Laguerre généralisés obéissent à l'équation différentielle

$x L_n^{(\alpha) \prime\prime}(x) + (\alpha+1-x)L_n^{(\alpha)\prime}(x) + n L_n^{(\alpha)}(x)=0.\,$

Exemples de polynômes de Laguerre généralisés

Les premiers polynômes de Laguerre généralisés sont

$L_0^{(\alpha)} (x) = 1$

$L_1^{(\alpha)}(x) = -x + \alpha +1$

$L_2^{(\alpha)}(x) = \frac{x^2}{2} - (\alpha + 2)x + \frac{(\alpha+2)(\alpha+1)}{2}$

$L_3^{(\alpha)}(x) = \frac{-x^3}{6} + \frac{(\alpha+3)x^2}{2} - \frac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2} + \frac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}$

Dérivées des polynômes de Laguerre généralisés

En différentiant la représentation en série d'un polynôme de Laguerre généralisé $k$ fois conduit à

$\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d x^k} L_n^{(\alpha)} (x) = (-1)^k L_{n-k}^{(\alpha+k)} (x)\,.$

Relation aux polynômes d'Hermite

Les polynômes de Laguerre généralisés apparaissent dans le traitement de l'oscillateur harmonique quantique, à cause de leur relation aux polynômes d'Hermite, qui peuvent être exprimés par

$H_{2n}(x) = (-1)^n 2^{2n} n! L_n^{(-1/2)} (x^2)$

$H_{2n+1}(x) = (-1)^n 2^{2n+1} n! x L_n^{(1/2)} (x^2)$

où les $H n (x)$ sont les polynômes d'Hermite.

Relation aux fonctions hypergéométriques

Les polynômes de Laguerre peuvent être reliés aux fonctions hypergéométriques, plus précisément aux fonctions hypergéométriques confluentes, par

$L^{(\alpha)}_n(x) = {n+\alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x) =\frac{(\alpha+1)_n} {n!} \,_1F_1(-n,\alpha+1,x)$

où $(a) n$ est le symbole de Pochhammer (qui, dans ce cas particulier, est utilisé pour représenter la factorielle croissante $a (a + 1)(a + 2)...(a + n - 1)$ ).

Liens externes

Une dérivation rapide et informelle des polynômes de Laguerre dans le contexte de l'atome d'hydrogène en mécaniques quantique (en anglais)

References

Modèle:Abramowitz Stegun ref
Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial", From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
(en) George Arfken and Hans Weber, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, 2000

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Polyn%C3%B4me de Laguerre ».

Catégories : Polynôme remarquable | Fonctions spéciales | Espace de Hilbert

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Polynôme de laguerre de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

Polynome de Laguerre — Polynôme de Laguerre En mathématiques, les polynômes de Laguerre, nommés d après Edmond Laguerre (1834 1886), sont les solutions de l équation de Laguerre : qui est une équation différentielle linéaire du second ordre. Cette équation a des… … Wikipédia en Français
Polynôme de Laguerre — En mathématiques, les polynômes de Laguerre, nommés d après Edmond Laguerre (1834 1886), sont les solutions de l équation de Laguerre : qui est une équation différentielle linéaire du second ordre. Cette équation a des solutions non… … Wikipédia en Français
polynôme de Laguerre — Lagero daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Laguerre’s polynomial vok. Laguerresches Polynom, n rus. многочлен Лагерра, m; полином Лагерра, m pranc. polynôme de Laguerre, m … Fizikos terminų žodynas
Laguerre — Edmond Laguerre Edmond Laguerre Edmond Nicolas Laguerre, né le 9 avril 1834 à Bar le Duc où il est mort le 14 août 1886, est un mathématicien français, connu surtout pour l introduction des polynômes qui portent … Wikipédia en Français
Laguerre’s polynomial — Lagero daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Laguerre’s polynomial vok. Laguerresches Polynom, n rus. многочлен Лагерра, m; полином Лагерра, m pranc. polynôme de Laguerre, m … Fizikos terminų žodynas
Laguerre-Polynom — Laguerre Polynome (benannt nach Edmond Laguerre) sind die Lösungen der laguerreschen Differentialgleichung Das n te Laguerre Polynom lässt sich über die Rodrigues Formel darstellen. Es handelt sich dabei um ein Polynom vom Grad n. Über die ersten … Deutsch Wikipedia
Laguerre-Polynome — [la gɛːr ; nach E. N. Laguerre], die im Intervall [0, ∞] paarweise (mit der Funktion zαe z) orthogonalen Lösungen der Laguerre Differenzialgleichung. Für α = 0 erhält man die bei z = 0 regulären Laguerre Polynome Ln (z … Universal-Lexikon
Polynome — Polynôme Courbe polynomiale cubique Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de puissances d une ou de plusieurs indéterminées, habituellement notées X, Y, Z… Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne… … Wikipédia en Français
Laguerre — [la gɛːr], Edmond Nicolas, französischer Mathematiker, * Bar le Duc 9. 4. 1834, ✝ ebenda 14. 8. 1886; seit 1864 an der École Polytechnique, seit 1883 Professor für mathematische Physik am Collège de France in Paris. Laguerre entwickelte in der… … Universal-Lexikon
Laguerre-Polynome — Die ersten sechs Laguerre Polynome Laguerre Polynome (benannt nach Edmond Laguerre) sind die Lösungen der laguerreschen Differentialgleichung Das n te Laguerre Polynom lässt sich über die … Deutsch Wikipedia

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Polynôme de laguerre