What the Tortoise Said to Achilles

What the Tortoise Said to Achilles (1895) est un court dialogue écrit par Lewis Carroll discutant des fondements de la logique et plus particulièrement du modus ponens. Le titre fait référence à l'un des paradoxes de Zénon dans lequel Achille ne pourrait jamais gagner une course face à une tortue. Dans le dialogue, la tortue met au défi Achille d'utiliser la force de la logique pour la convaincre d'un raisonnement déductif simple. Mais Achille échoue, car il est entraîné dans une régression à l'infini.

Résumé du dialogue

La Tortue commence par énoncer ces trois propositions :

• (A) « Deux choses égales à une même troisième sont égales entre elles » (transitivité de l'égalité) ;
• (B) « Les deux côtés de ce triangle sont égaux à un même troisième » ;
• (Z) « Les deux côtés de ce triangle sont égaux entre eux ».

Elle demande ensuite à Achille si la conclusion (Z) découle logiquement à partir des hypothèses (A) et (B) et Achille assure que oui. La tortue lui demande s'il peut exister un lecteur d'Euclide qui prétende que l'argument est valide en tant que suite logique tout en n'admettant pas la vérité de A et de B. Achille concède qu'un tel lecteur pourrait exister bien qu'il le considérerait alors comme un mauvais logicien.

De la même façon, elle lui demande si un second type de lecteur pourrait exister, qui accepterait pour vraies les deux propositions A et B sans reconnaître le lien logique entre les hypothèses A et B, et la conclusion Z. Achille reconnaît qu'un tel lecteur pourrait également exister et la Tortue lui demande de la traiter en lecteur de ce type et de lui montrer formellement la vérité de Z.

Après avoir écrit A, B, et Z, Achille demande à la Tortue d'accepter la proposition (C) : « Si A et B sont vraies, alors Z est nécessairement vraie ». La Tortue veut bien reconnaître la proposition comme vraie, à condition que Achille l'écrive. Une fois écrite, la Tortue accepte la proposition C mais refuse toujours la conclusion, ce à quoi Achille répond « Si tu acceptes A, B, et C, tu dois accepter Z ». La tortue fait remarquer qu'il s'agit là d'une nouvelle proposition et lui demande de l'écrire à la suite des autres. Cela continue ainsi, la Tortue accepte chaque hypothèse qu'Achille accepte d'écrire sans accepter la conclusion. À la nième itération les hypothèses sont les suivantes :

• (1) « Deux choses égales à une même troisième sont égales entre elles » ;
• (2) « Les deux côtés de ce triangle sont égaux à un même troisième » ;
• (3) « Si (1) et (2) sont vrais, Z est nécessairement vrai » ;
• … ;
• (n) « Si (1), (2), …, (n-1) sont vrais, Z est nécessairement vrai ».

Mais la Tortue refuse toujours de reconnaître la conclusion. À la fin du dialogue, la Tortue ironise sur le temps mis par Achille pour accomplir sa tâche, arrivé à la 1001^e itération « As-tu écrit la dernière étape ? Sauf si j'ai perdu le compte, cela en fait mille-un. Il y en a plusieurs millions de plus à venir. » (« Have you got that last step written down? Unless I've lost count, that makes a thousand and one. There are several millions more to come. »)

Analyse

Plusieurs philosophes ont essayé de résoudre le paradoxe de Carroll. Bertrand Russell y a brièvement fait référence dans The principles of Mathematics (§38, 1903) en faisant la distinction entre implication (Si p alors q) qu'il considère comme une relation entre deux propositions, et inférence (p, donc q) pour laquelle p est forcément vraie. Ainsi, Russell peut s'opposer au fait que la tortue considère que l'inférence de Z depuis A et B soit équivalente à l'implication « Si A et B sont vraies, alors Z l'est aussi ».

Le philosophe wittgensteinien Peter Winch en a parlé dans The Idea of a social Science and its relation to Philosophy (1958), dans lequel il dit que ce paradoxe montre que « le processus de représentation d'une inférence, qui est après tout au cœur de la logique, est quelque chose qui ne peut être représenté par une formule logique. [...] Apprendre à inférer ne se résume pas seulement à relier de façon logique des propositions, mais c'est apprendre à faire quelque chose. » Winch suggère que la morale du dialogue est un cas particulier d'une leçon plus générale : il est impossible de réduire une activité humaine à un ensemble de préceptes logiques.

Où trouver le dialogue

• (en) Carroll, Lewis. What the Tortoise Said to Achilles. Mind, n.s., 4 (1895), p. 278–80.
• Jean Gattegno et Ernest Coumet, Lewis Carroll, Logique sans peine, éd. Hermann, Paris, 1966, p. 241-246 (« Ce que se dirent Achille et la tortue »)
• Douglas Hofstadter, Gödel, Escher, Bach : les Brins d'une Guirlande Eternelle, version française de Jacqueline Henry et Robert French, InterÉditions, Paris, 1985 (ISBN 9782729600402) publié à nouveau par la suite par Dunod. Cf. Chapitre II, le dialogue Invention à deux voix, p. 49-52
• (en) sur Wikisource : What the Tortoise Said to Achilles

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(fr)Ce que la tortue dit à Achille