Oscillateur de Van der Pol

Oscillateur de Van der Pol

L'oscillateur de Van der Pol est un système dynamique différentiable à temps continu et à un degré de liberté, du nom de Balthasar van der Pol. Il est décrit par une coordonnée x(t) vérifiant une équation différentielle faisant intervenir deux paramètres :

  • une pulsation propre ω0 ;
  • un coefficient de non-linéarité \epsilon.

Lorsque ε = 0, cet oscillateur se réduit à un oscillateur harmonique pur.

Sommaire

Oscillateur libre

L'équation différentielle de l'oscillateur libre s'écrit :

\frac{d^2x(t)}{dt^2} \ - \ \epsilon \, \omega_0 \ \left(1 - x^2(t) \right) \; \frac{dx(t)}{dt} \ + \ \omega_0^2 \ x(t) \ = \ 0

Lorsque \epsilon \ne 0, ce système dissipatif possède une dynamique régulière caractérisée par un attracteur en forme de cycle limite, représenté sur la figure ci-dessous (où on a posé ω0 = 1) :

Van der Pol phase space.png

Oscillateur forcé

Lorsque cet oscillateur est excité par un terme harmonique à la pulsation ω, son équation différentielle devient :

\frac{d^2x(t)}{dt^2} \ - \ \epsilon \, \omega_0 \ \left(1 - x^2(t) \right) \; \frac{dx(t)}{dt} \ + \ \omega_0^2 \ x(t) \ = \ \omega_0^2 \ X \ \cos (\omega t )

à développer ...

Articles connexes

Liens externes

Bibliographie

  • Balth. van der Pol & J van der Mark ; The Heartbeat considered as a Relaxation oscillation, and an Electrical Model of the Heart, Philosophical Magazine Supplement 6 (1928), 763-775.
  • Shawnee L. Mc Murran & James J. Tattersall ; Cartwright and Littlewood on van der Pol's equation, Harmonic analysis and nonlinear differential equations (Riverside, CA, 1995), Contemporary Mathematics 208, American Mathematical Society (Providence, RI, 1997), 265-276.

Notes



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