Optique géométrique

L'optique géométrique est une branche de l'optique qui s'appuie notamment sur la notion de rayon lumineux. Cette approche simple permet notamment des constructions géométriques d'images qui lui confèrent son nom.

Sommaire 1 Introduction 1.1 Place de l'optique géométrique 1.2 Propagation de la lumière et notion de rayon lumineux 1.3 Quelques remarques à propos des représentations graphiques 2 Définitions et lois fondamentales de l'optique géométrique 2.1 Lois de Snell-Descartes 2.2 Stigmatisme et notion d'image optique 2.2.1 Stigmatisme rigoureux du miroir plan 2.2.2 Stigmatisme approché du dioptre plan 2.3 Systèmes centrés : image d'un objet étendu - aplanétisme 2.4 Dioptres et miroirs quelconques 3 Quelques applications 3.1 Succession de dioptres 3.2 Les instruments d'optique 4 Défauts inhérents à l'utilisation de dioptres plans ou sphériques 5 Limite de l'optique géométrique 6 Notes et références 7 Voir aussi 8 Liens externes

Introduction

Place de l'optique géométrique

Du point de vue physique, l'optique géométrique est une approche alternative de l'optique ondulatoire (souvent appelée optique physique) et de l'optique quantique. Elle est en revanche plus ancienne, ayant été développée dès l'antiquité. L'optique ondulatoire a été mise en évidence au XIX^e siècle avec l'expérience des fentes d'Young et l'optique quantique n'est apparue qu'au cours du XX^e siècle.

Maxwell a montré que la lumière peut être modélisée par un champ électromagnétique, qui se propage dans une direction perpendiculaire à lui-même. Lorsque ce champ a une fréquence bien déterminée, l'onde associée peut être caractérisée par sa longueur d'onde qui dépend, d'ailleurs, du milieu où elle se propage. Dans ce cas et dans le visible, la couleur perçue par le cerveau, via l'œil, est la manifestation de la fréquence et non de la longueur d'onde : l'onde est qualifiée de monochromatique. La diffraction, les interférences ou la polarisation nécessitent de prendre en compte la nature ondulatoire de la lumière.

Mais beaucoup de phénomènes peuvent être interprétés en ne considérant que la direction de propagation de l'énergie de cette onde, le rayon lumineux. C'est l'optique géométrique, qui reste l'outil le plus flexible et le plus efficace pour traiter les systèmes dioptriques et catadioptriques. Elle permet notamment d'expliquer la formation des images produites par ces systèmes.

Propagation de la lumière et notion de rayon lumineux

Dans le modèle ondulatoire (scalaire ou vectoriel) une onde lumineuse est une variation périodique du champ électromagnétique qui se déplace dans tout l'espace. On peut repérer le déplacement de l'onde par celui d'une surface d'onde, sur laquelle le champ électromagnétique a une valeur constante. Dans le cas d'une onde progressive, ces surfaces se propagent dans la direction perpendiculaire à elles-mêmes : cette direction est celle des rayons, qui sont donc les normales à ces surfaces d'onde (plus exactement, les rayons lumineux sont la direction de propagation de l'énergie, qui est également la direction de propagation de l'onde électromagnétique dans un milieu homogène et isotrope).

Ainsi :

• Un rayon lumineux est donc un objet théorique : il n'a pas d'existence physique. Il sert de modèle de base à l'optique géométrique où tout faisceau de lumière est représenté par un ensemble de rayons lumineux.
• Si la surface d'onde est un plan (onde plane), tous les rayons sont parallèles entre eux : on parle de faisceau parallèle.
• Si la surface d'onde est un morceau de sphère (onde sphérique), tous les rayons se dirigent vers un point, ou semblent provenir d'un point : on a un faisceau qui converge en un point, ou qui diverge à partir d'un point.
• Plus généralement, lorsque la surface d'onde est concave ou convexe, le faisceau est convergent ou divergent. Un faisceau ne sera convergent que dans un domaine de l'espace déterminé par la zone de convergence. Lorsqu'un faisceau converge, après cette zone il est divergent. Si on considère un faisceau se propageant en sens inverse (voir plus loin le principe du retour inverse de la lumière), les domaines de convergence et de divergence sont donc inversés.

La célérité de la lumière dans le vide est notée c et sa valeur est de 299 792 458 m/s (fixée par décret en 1983). Dans un milieu matériel, la vitesse de l'onde lumineuse est plus faible que dans le vide. On définit l'indice du milieu par la quantité n = c/v où v est la célérité de la lumière dans le milieu. La vitesse de la lumière étant toujours inférieure à celle de sa propagation dans le vide, n est supérieur à 1.

Quelques remarques à propos des représentations graphiques

Les rayons que l'on dessine, pour localiser une image, ne correspondent pas toujours à ceux qui traversent effectivement le système étudié d'où l'importance du tracé des faisceaux « traités », ensemble des rayons traversant, effectivement, le système optique, tant pour déterminer les dimensions physiques de ses composants que pour préciser les régions de l'espace où l'image finale pourra être observée.

Définitions et lois fondamentales de l'optique géométrique

L'optique géométrique consiste à étudier la manière dont la lumière se propage en ne considérant que la marche des rayons.

L'optique géométrique repose sur deux lois fondamentales :

• Propagation rectiligne de la lumière : dans un milieu transparent, homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite : les supports des rayons sont des droites.
• Principe du retour inverse de la lumière : si la lumière suit un trajet quelconque d'un point A à un point B (y compris dans un système optique), alors la lumière peut suivre exactement le trajet inverse de B vers A. Autrement dit, le sens de parcours change, mais pas les directions.

On appelle dioptre la surface séparant deux milieux transparents. Les rayons demeurent rectilignes dans un milieu homogène et isotrope ; ils sont, généralement, déviés lors du franchissement d'un dioptre ou à la rencontre d'une surface réfléchissante. Le changement de direction aux interfaces est décrit par les lois de Snell-Descartes.

Lois de Snell-Descartes

On considère un rayon se propageant dans un milieu homogène et isotrope d'indice de réfraction n₁, et tombant sur une surface (dioptre ou surface réfléchissante). Le plan d'incidence est le plan qui contient le rayon incident et la normale à la surface au point d'incidence. L'angle d'incidence est l'angle formé par le rayon d'incidence et la normale à la surface.

Si le rayon lumineux tombe sur une surface réfléchissante, il est dévié. Le rayon réfléchi reste dans le plan d'incidence et sa direction de propagation est telle que l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence. Ce phénomène est connu depuis les travaux de Ptolémée, Alhazen ou Kepler, de même que, qualitativement, la déviation au franchissement d'un dioptre.

Lorsque le rayon lumineux tombe sur une surface séparant le milieu où il se propage (milieu d'incidence) d'un autre milieu, d'indice de réfraction n₂, il donne naissance, dans ce second milieu, à un rayon qui n'est pas dans son prolongement (sauf à l'incidence normale) : c'est le rayon réfracté. Snell et Descartes ont montré, indépendamment, que dans le cas où les deux milieux sont homogènes et isotropes, la réfraction suivait une loi « simple » en sinus.

Au niveau de l'interface :

1. Les rayons lumineux réfléchis sont dans le plan d'incidence, et tels que l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence.
2. Les rayons lumineux transmis sont dans le plan d'incidence, et tels que l'angle de réfraction est lié à l'angle d'incidence par la formule

où n₁ est l'indice du milieu d'incidence, n₂ celui du milieu de réfraction, θ₁ l'angle d'incidence et θ₂ l'angle de réfraction. De plus, l'indice dépend généralement de la longueur d'onde de la lumière incidente et la réfraction conduit alors à la dispersion d'une lumière polychromatique. Le rayon réfléchi (ou réfracté) et le rayon incident se situent de part et d'autre de la normale.

Remarque 1 : les deux phénomènes, réflexion et réfraction peuvent, évidemment, être expliqués dans le cadre de l'Optique ondulatoire.

Remarque 2 : ces lois peuvent aussi s'obtenir dans des milieux non homogènes par l'intermédiaire du Chemin optique

Remarque 3 : Il existe un angle d'incidence limite tel que , cette notion d'angle limite intervient surtout dans le phénomène de fibre optique.

Stigmatisme et notion d'image optique

Un système est dit rigoureusement stigmatique lorsque tous les rayons issus d'un point (source isogène) et traversant le système ont tous leurs supports qui passent par le même point (image ).

Le point image est dit réel s'il est situé en aval de l'élément optique par rapport au sens de propagation de la lumière. Il est dit virtuel s'il est situé en amont de la face de sortie de l'élément optique par rapport au sens de propagation de la lumière. Inversement, un point objet est réel s'il est situé en amont de l'élément optique par rapport au sens de propagation de la lumière et virtuel s'il est situé en aval de la face d'entrée de l'élément optique par rapport au sens de propagation de la lumière.

Un objet situé « à l'infini » est une source émettant des rayons lumineux parallèles, Une image se forme « à l'infini » quand les rayons lumineux qui la forment sont parallèles.

Un œil normal (emmétrope) ou corrigé doit voir nettement une image à l'infini (Punctum remotum : point le plus éloigné que l'on peut voir nettement ou encore  : le punctum remotum d'un oeil emmétrope est à l'infini ).

La propriété dite de stigmatisme est étroitement liée à la définition d'image optique. Pour un objet donné, un système optique n'en donne une image (stricto sensu) que s'il est stigmatique pour tous les points de l'objet. Dans ce cas, chaque point de l'objet a un point image et l'objet lui-même a donc une image.

Dans la pratique cette propriété est rarement réalisable. On est amené à parler de stigmatisme approché lorsque les rayons convergent presque en un même point, c'est-à-dire lorsque la zone de convergence a une taille inférieure à la résolution de notre vue (aptitude à distinguer deux points objets voisins : typiquement, dans des conditions optimales de contraste et d'éclairement, l'œil humain peut séparer, à une distance de 10 m, deux points écartés de 3 mm : on parle de pouvoir séparateur ou de résolution de la vue).

Stigmatisme rigoureux du miroir plan

Dans la figure ci-contre, ont été représentés quelques rayons issus d'un objet lumineux réel et venant se réfléchir sur le miroir (que l'on schématise par un segment muni de hachure à l'arrière) selon les lois de Snell-Descartes.

Un observateur, et ce, quelle que soit sa position dans le faisceau réfléchi, recevra de la lumière qui lui semble provenir d'un point symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir : l'image (virtuelle) que l'observateur voit.

Cette image est symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir et a la même taille (grandissement = 1). Elle est virtuelle, car elle est située en amont du miroir si on considère le sens de propagation des rayons réfléchis.

Stigmatisme approché du dioptre plan

Il est facile de vérifier avec un papier et un crayon (et une calculatrice) que la réfraction fait du dioptre plan un système non-stigmatique : les rayons issus d'un point, traversant le dioptre, donnent un ensemble de réfractés qui ne se coupent pas tous au même point.

L'illustration ci-dessus montre que la lumière issue d'un point placé dans un aquarium, par exemple, donne des rayons réfractés dans l'air qui ont des directions sans point commun.

Pourtant, on lit parfaitement un journal placé à plat au fond d'une baignoire remplie d'eau (si l'eau n'est ni agitée, ni troublée). C'est donc qu'un point sur un i, par exemple, constitue un objet qui forme une image de bonne qualité sur la rétine de l'œil de l'observateur. Ceci n'est possible que parce que le faisceau de lumière, tombant sur notre pupille, est suffisamment étroit, du fait de la faible dimension de cette pupille. Ainsi les rayons, issus du point sur le i - supposé, en toute rigueur, coloré ! -, qui atteignent la rétine, y forment, après réfraction, une tache assez petite pour que notre cerveau l'assimile à un point. On est bien alors dans un cas de stigmatisme approché ; si la tache est inférieure à la résolution de notre œil : l'image semble nette. Si la tache est plus grande, l'image est floue. C'est pour cette raison qu'un « gros'œil » de dinosaure ne pourrait lire le journal immergé... mais la question ne se pose pas puisqu'au jurassique la presse n'existait pas ! (ni sans doute la baignoire).La petitesse de notre rétine "gomme" l'astigmatisme du dioptre sphérique que constitue notre cornée.
Une application spectaculaire dérive de cette constatation : percez dans une carte ( noir mat de préférence ) un trou d'au plus 1 mm de diamètre, approchez-la tout contre (vraiment tout contre ) votre oeil nu et observez un objet quelconque par le petit trou en le rapprochant le plus possible . Vous constaterez que ce dispositif permet de distinguer des détails invisibles auparavant ! L'emmétrope peut s'en servir comme d' une loupe efficace et la personne à la vue diminuée de quelque façon que ce soit ( myopie, presbytie, astigmatisme... ) se verra débarrassée de son handicap.En l'absence des précieuses lunettes de correction, la petite carte percée (carte de crédit par exemple, ou petite carte de fidélité accrochée au porte-clé) permettra de déchiffrer l'étiquette illisible ! Seul nécessité, il faut que l'objet observé soit bien éclairé : l'éternel dilemme netteté-luminosité...
Remarque : l'image obtenue par réflexion sur un miroir plan est localisée indépendamment de la position de l'observateur ; au contraire, l'image approchée obtenue par réfraction dépend de la position de ce dernier. On l'observera, au bord d'une piscine, en se déplaçant légèrement : le reflet du bord est « fixe » tandis que le fond semble un « tapis volant » se mouvant au gré des déplacements de l'observateur.

Systèmes centrés : image d'un objet étendu - aplanétisme

Très souvent les éléments d'un système optique ont une symétrie de révolution. On parle de système centré lorsque les différents éléments ont un axe de symétrie commun : l'axe principal .

Un tel système est alors défini par ses éléments cardinaux - foyers et plans principaux, notamment, permettant de définir les distances focales et de construire les images.

Un objet n'est généralement pas ponctuel : on parle alors d'objet étendu. Le stigmatisme pour un point, qu'il soit rigoureux ou approché, ne garantit pas l'obtention de l'image d'un objet quelconque. Lorsque le stigmatisme est conservé au voisinage d'un point et dans un plan perpendiculaire à l'axe optique, on dit que le système est aplanétique. L'image d'un petit objet perpendiculaire à l'axe est alors dans le plan perpendiculaire à l'axe contenant les images des points constituant l'objet.

Dioptres et miroirs quelconques

Il faut insister sur le fait que les lois, précédemment définies, n'exigent en rien la planéité de l'interface : ce sont des lois locales applicables si l'on peut définir une normale à l'interface au point où le rayon l'atteint (point d'incidence).

Les lois de Snell-Descartes s'appliquent donc lorsque les surfaces sont non-planes. L'application des lois de la réflexion et de la réfraction permettent alors de tracer le devenir de tout rayon incident, donnant ainsi des informations sur la géométrie du faisceau réfléchi et (ou) du faisceau réfracté.

La figure ci-contre donne un exemple dans le cas d'un dioptre concave, où le milieu de réfraction (en bleu) est plus réfringent que le milieu d'incidence.

Le cas du dioptre sphérique est particulièrement important puisqu'il limite les faces des lentilles les plus couramment et les plus anciennement employées, car, techniquement par usure et polissage, les plus faciles à réaliser.

Pour les miroirs, ce sont, en plus des miroirs plans, les miroirs sphériques et les miroirs paraboliques (réflecteurs des phares de voitures, par exemple) les plus utilisés.

Quelques applications

Succession de dioptres

La succession de deux dioptres plans non parallèles constitue un prisme, dont les propriétés de réflexion totale ou de dispersion (faculté de séparer les différentes longueurs d'onde) en font un objet largement utilisé. (Actuellement, pour ce qui est de la dispersion, il est supplanté par les réseaux (optique physique)).

La succession de deux dioptres dont l'un est sphérique (ou cylindrique) constitue une lentille.

Les instruments d'optique

• La loupe

La loupe est l'instrument d'optique réfractant le plus simple : elle est constituée d'une unique lentille convergente.
Son utilisation repose sur la possibilité d'obtenir une image, de même sens que l'objet, (droite et virtuelle) : des détails de l'objet sont alors vus sous un angle plus grand qu'il ne pourraient l'être à l'œil nu. Pour cela il faut que l'objet soit situé à une distance de la loupe inférieure ou égale à la distance focale.

• L'appareil photographique

Le principe de l'appareil photographique est également des plus simples : une seule lentille convergente (en réalité une combinaison savante et complexe - souvent secrète - de plusieurs lentilles réelles), qui donne de l'objet une image réelle recueillie sur un écran. Dans ce cas, l'image est généralement plus petite que l'objet. Seule particularité de cet instrument, il nécessite un récepteur sensible à la lumière pour enregistrer l'image. Ce récepteur peut être une pellicule contenant des sels d'argent photosensibles (procédé chimique de la photo dite argentique) ou une cellule photosensible (CCD) (procédé physique de la photo dite numérique).

• Télescope de Newton

Il s'agit d'un système afocal constitué d'un miroir parabolique ou sphérique de grand diamètre chargé de collecter la lumière provenant des étoiles, suivi d'une lentille de plus courte focale (l'oculaire) servant de loupe pour regarder l'image intermédiaire. L'astuce du télescope de Newton est d'interposer un petit miroir plan qui permet de placer l'oculaire à 90°.

• Lunette astronomique

Il s'agit d'un système afocal constitué d'une lentille de grand diamètre et de grande distance focale (l'objectif) chargée de collecter la lumière provenant des astres, suivie d'une lentille de courte distance focale (l'oculaire) servant de loupe pour regarder l'image intermédiaire.

Remarque : la lunette astronomique donne une image renversée. Elle est donc peu adaptée à l'observation des objets terrestres. On utilise la lunette dite « terrestre » ou lunette de Galilée, instrument ayant un objectif mais utilisant une lentille divergente comme oculaire : de la sorte, l'image finale est droite.

• Microscope

Le principe du microscope optique est d'obtenir une image très agrandie d'un objet réel, de faible dimension, situé à distance finie, grâce à une lentille, de très courte focale, appelée objectif, et d'observer à l'aide d'une loupe (en fait un oculaire puissant) cette image agrandie : cet instrument emploie donc deux lentilles convergentes (en fait , objectif et oculaire, assimilables, in fine,à deux lentilles convergentes, sont des combinaisons complexes de lentilles simple ).

Défauts inhérents à l'utilisation de dioptres plans ou sphériques

Ces défauts sont dus au caractère non-stigmatique ou dispersif des éléments utilisés donnant lieu aux aberrations : on distingue les aberrations géométriques (ou, plus restrictivement, de sphéricité) découlant du non stigmatisme et les aberrations dites chromatiques provenant du caractère dispersif des matériaux (le foyer d'une lentille non achromatique n'est pas le même pour le bleu que pour le rouge). Afin d'atténuer les défauts de sphéricité, ou de les supprimer, on emploie actuellement des dioptres asphériques souvent mentionnés dans la « formule » des objectifs commerciaux.
L'atténuation des défauts chromatiques est réalisée par l'association de verres, au pouvoir dispersif adéquat, permettant une compensation satisfaisante dans une certaine gamme de longueurs d'onde : les meilleures corrections sont signalées par l'appellation « apo » (pour apochromatique) des objectifs.

Limite de l'optique géométrique

L'optique géométrique ne permet pas d'expliquer tous les phénomènes lumineux. En particulier, elle ne tient pas compte du fait que la lumière est de nature ondulatoire. Lorsque tous les objets qui interagissent avec la lumière ont des tailles caractéristiques grandes devant la longueur d'onde du rayon lumineux alors il est convenable et plus simple d'utiliser l'optique géométrique pour décrire son comportement avec une bonne précision. Mais quand la lumière diffuse sur ou passe à travers des objets dont la taille est du même ordre de grandeur (voire plus petits) que sa longueur d'onde, alors il n'est plus possible de négliger l'aspect ondulatoire et on entre dans le domaine de l'optique ondulatoire.

Deux phénomènes caractéristiques de l'optique ondulatoire, inexplicables dans le contexte de l'optique géométrique, sont les interférences lumineuses et la diffraction.

• Le premier est bien mis en évidence par l'expérience des fentes de Young dans laquelle on fait passer de la lumière à travers deux trous percés sur un cache: la lumière résultante observée sur un écran au-delà du cache présente des variations spatiales d'intensité qui ressemblent d'autant plus au résultat attendu par l'optique géométrique que la distance qui sépare les deux trous est grande devant la longueur d'onde^[1].
• Le deuxième est mis en évidence en faisant passer de la lumière à travers un simple trou circulaire. Si la taille du trou est grande devant la longueur d'onde alors l'image recueillie sur un écran est une tache correspondant à l'image du trou selon l'optique géométrique. Mais si le trou voit sa taille rétrécir alors on voit se développer une tache d'Airy avec des anneaux lumineux secondaires au-delà de l'image ordinaire. Ce phénomène, qui est minime pour des instruments d'optique usuels comme les lentilles de télescopes mais tout de même présent, fait partie des défauts optiques inévitables de tout instrument et limite son pouvoir de résolution. On mesure quantitativement ce défaut par le critère de Rayleigh.

Notes et références

Voir aussi

• Chemin optique
• Perspective visuelle
• Géométrie projective
• Géométrie descriptive

Liens externes

• Université Le Mans - site de J.-J. Rousseau
• Université En Ligne / Optique Géométrique
• cours Optique pour l'Ingénieur / Optique Géométrique

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