Nombre premier d’Eisenstein

Nombre premier d’Eisenstein

Nombre premier d'Eisenstein

En mathématiques, un nombre premier d'Eisenstein est un entier d'Eisenstein

a \,\omega + b\,

qui est un irréductible (ou de manière équivalente premier) dans le sens de la théorie des anneaux : ses seuls diviseurs d'Eisenstein sont les unités : {1, 1+\omega\,, \omega\,, − 1, -1-\omega\,, -\omega\,}, et 'a \,\omega + b\, lui-même et ses unités multiples. Ici, \omega\, est la racine de l'unité cubique complexe

\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}

Les nombres premiers d'Eisenstein sont précisément les entiers d'Eisenstein \alpha\, qui remplissent une des conditions suivantes :

  1. α est égal au produit d'une unité et de 1-\omega\,,
  2. α est de norme un nombre premier congru à un modulo trois,
  3. α est le produit d'une unité et d'un entier naturel premier congru à deux modulo trois.

Les premiers nombres premiers d'Eisenstein qui sont égaux à un nombre premier naturel 3n - 1 sont :

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101

qui sont listés dans suite A003627 de l’OEIS. Certains nombres premiers d'Eisenstein sont

2+\omega\,, 3+\omega\,, 4+\omega\,, 5+2\,\omega\,, 6+\omega\,, 7+\omega\,, 7+3\,\omega\,

Le conjugué complexe de n'importe quel nombre premier d'Eisenstein est un autre nombre premier d'Eisenstein; en multipliant un nombre premier d'Eisenstein par n'importe quelle de ses unités donne aussi un nombre premier d'Eisenstein. Les nombres premiers listés ci-dessus, ensemble avec 2 et 5, sont tous des nombres premiers d'Eisenstein de module ne dépassant pas 7.

Les nombres premiers d'Eisenstein ont été nommés en l'honneur du mathématicien Ferdinand Eisenstein.

En 2005, le plus grand nombre premier d'Eisenstein (réel) connu est 27653.2^{9167433} + 1\,, qui est le dixième plus grand nombre premier connu, découvert par Gordon [1]. Les huit premiers nombres premiers plus grands sont des nombres premiers de Mersenne découverts par GIMPS et le neuvième est un nombre de Sierpiński. Les nombres premiers d'Eisenstein sont congrus à 2 mod 3, et les nombres premiers de Mersenne (excepté le plus petit, 3) sont congrus à 1 mod 3.

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