Nombre premier d'eisenstein

Nombre premier d'Eisenstein

En mathématiques, un nombre premier d'Eisenstein est un entier d'Eisenstein

$a \,\omega + b\,$

qui est un irréductible (ou de manière équivalente premier) dans le sens de la théorie des anneaux : ses seuls diviseurs d'Eisenstein sont les unités : { $1$ , $1+\omega\,$ , $\omega\,$ , $- 1$ , $-1-\omega\,$ , $-\omega\,$ }, et ' $a \,\omega + b\,$ lui-même et ses unités multiples. Ici, $\omega\,$ est la racine de l'unité cubique complexe

$\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$

Les nombres premiers d'Eisenstein sont précisément les entiers d'Eisenstein $\alpha\,$ qui remplissent une des conditions suivantes :

α est égal au produit d'une unité et de $1-\omega\,$ ,
α est de norme un nombre premier congru à un modulo trois,
α est le produit d'une unité et d'un entier naturel premier congru à deux modulo trois.

Les premiers nombres premiers d'Eisenstein qui sont égaux à un nombre premier naturel 3n - 1 sont :

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101

qui sont listés dans suite A003627 de l’OEIS. Certains nombres premiers d'Eisenstein sont

$2+\omega\,$ , $3+\omega\,$ , $4+\omega\,$ , $5+2\,\omega\,$ , $6+\omega\,$ , $7+\omega\,$ , $7+3\,\omega\,$

Le conjugué complexe de n'importe quel nombre premier d'Eisenstein est un autre nombre premier d'Eisenstein; en multipliant un nombre premier d'Eisenstein par n'importe quelle de ses unités donne aussi un nombre premier d'Eisenstein. Les nombres premiers listés ci-dessus, ensemble avec 2 et 5, sont tous des nombres premiers d'Eisenstein de module ne dépassant pas 7.

Les nombres premiers d'Eisenstein ont été nommés en l'honneur du mathématicien Ferdinand Eisenstein.

En 2005, le plus grand nombre premier d'Eisenstein (réel) connu est $27653.2^{9167433} + 1\,$ , qui est le dixième plus grand nombre premier connu, découvert par Gordon [1]. Les huit premiers nombres premiers plus grands sont des nombres premiers de Mersenne découverts par GIMPS et le neuvième est un nombre de Sierpiński. Les nombres premiers d'Eisenstein sont congrus à 2 mod 3, et les nombres premiers de Mersenne (excepté le plus petit, 3) sont congrus à 1 mod 3.

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Nombre premier d%27Eisenstein ».

Catégories : Entier quadratique | Propriété numérique

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Nombre premier d'eisenstein de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

Nombre Premier D'Eisenstein — En mathématiques, un nombre premier d Eisenstein est un entier d Eisenstein qui est un irréductible (ou de manière équivalente premier) dans le sens de la théorie des anneaux : ses seuls diviseurs d Eisenstein sont les unités : {1, , ,… … Wikipédia en Français
Nombre premier d’Eisenstein — Nombre premier d Eisenstein En mathématiques, un nombre premier d Eisenstein est un entier d Eisenstein qui est un irréductible (ou de manière équivalente premier) dans le sens de la théorie des anneaux : ses seuls diviseurs d Eisenstein… … Wikipédia en Français
Nombre premier d'Eisenstein — En mathématiques, un nombre premier d Eisenstein est un entier d Eisenstein qui est un irréductible (ou de manière équivalente premier) dans le sens de la théorie des anneaux : ses seuls diviseurs d Eisenstein sont les unités : {1, , ,… … Wikipédia en Français
Nombre Premier — 7 est un nombre premier car il admet exactement deux diviseurs positifs … Wikipédia en Français
Nombre premier — 7 est un nombre premier car il admet exactement deux diviseurs positifs. Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui même). Cette définition exclut 1, qui n a… … Wikipédia en Français
Nombre Complexe — Pour les articles homonymes, voir complexe. Les nombres complexes forment une extension de l ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels. Les nombres… … Wikipédia en Français
Nombre Algébrique — Un nombre algébrique, en mathématiques, est tout nombre qui est solution d une équation algébrique (autrement dit racine d un polynôme différent de zéro) à coefficients entiers (ou de manière équivalente, à coefficients rationnels). Sans plus de… … Wikipédia en Français
Nombre algebrique — Nombre algébrique Un nombre algébrique, en mathématiques, est tout nombre qui est solution d une équation algébrique (autrement dit racine d un polynôme différent de zéro) à coefficients entiers (ou de manière équivalente, à coefficients… … Wikipédia en Français
Nombre de classes — Groupe des classes d idéaux En mathématiques, la théorie des corps de nombres fait apparaître un groupe abélien fini construit à partir de chaque tel corps : son groupe des classes d idéaux. Sommaire 1 Histoire et origine du groupe des… … Wikipédia en Français
Nombre complexe — Pour les articles homonymes, voir complexe. En mathématiques, les nombres complexes forment une extension de l ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Nombre premier d'eisenstein