Nombre harmonique

Nombre harmonique

En mathématiques, les nombres harmoniques d'ordre n\, sont donnés par

H^{(m)}_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^m}\,.

Le cas particulier m=1\, est fréquemment écrit sans l'exposant, sous la forme

H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\,.

Ces nombres apparaissent dans de nombreux problèmes d'analyse combinatoire ; ainsi, on a

H_n =\frac 1 {n!}\left[\begin{matrix} n+1\\ 2 \end{matrix}\right],

où \left[\begin{matrix} n+1\\ 2 \end{matrix}\right] est un nombre de Stirling de première espèce.

On a le développement asymptotique

H_n=\ln n +\gamma+1/2n+O(1/n^2)\ ,

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.


À la limite n\rightarrow \infty\,, les nombres harmoniques convergent vers la fonction zêta de Riemann.

La somme reliée \sum_{k=1}^n k^m\, apparaît dans l'étude des nombres de Bernoulli.

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