- Nombre chanceux
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Animation montrant les nombres chanceux entre 1 et 120.
En mathématiques, un nombre chanceux est un entier naturel dans un ensemble qui est généré par un « crible » similaire au crible d'Ératosthène qui génère les nombres premiers[1],[2]. Nous commençons avec une liste d'entiers démarrant par 1 :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, ...Puis nous enlevons un nombre sur deux, ce qui ne laisse que les entiers impairs :
1, -, 3, -, 5, -, 7, - , 9, -, 11, -, 13, -, 15, -, 17, -, 19, -, 21, -, 23, -, 25, - , ...Le deuxième terme de la suite est désormais 3. Maintenant, nous enlevons un nombre sur trois parmi ceux qui restent dans la liste :
1, 3, -, 7, 9, -, 13, 15, -, 19, 21, -, 25, 27, - , 31, 33, -, 37, 39, -, 43, 45, -, 49, 51, ...Le troisième nombre survivant est 7. Maintenant, nous enlevons un nombre sur sept parmi ceux qui restent dans la liste :
1, 3, 7, 9, 13, 15, -, 21, 25, 27, 31, 33, 37, -, 43, 45, 49, 51, 55, 57, -, 63, 67, 69, 73, ...Le quatrième nombre survivant est 9. Maintenant, nous enlevons un nombre sur neuf parmi ceux qui restent dans la liste, etc.
Si nous répétons cette procédure indéfiniment, les survivants sont les nombres chanceux[3] :
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ...
Stanislaw Marcin Ulam fut le premier à étudier ces nombres, aux alentours de 1955. Il les nomma « chanceux » à cause d'un rapport avec une histoire dite par l'historien Flavius Josèphe. Ce dernier en effet, lors de la première guerre judéo-romaine, se trouva isolé avec 40 de ses compagnons, avec le suicide comme seule option. Il proposa alors un crible, aux termes duquel on éliminait un combattant sur trois, jusqu'à ce qu'il n'en reste plus que deux - dont Flavius Josèphe.
Les nombres chanceux partagent certaines propriétés avec les nombres premiers, tel que le comportement asymptotique en accord avec le théorème des nombres premiers; la conjecture de Goldbach a été étendue à eux. Il existe une infinité de nombres chanceux. On ignore s'il existe aussi une infinité de nombres premiers chanceux[4] :
Liste des nombres premiers chanceux : 3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193, ...
Ils ne sont pas liés aux nombres chanceux d'Euler.
Références
- (en) Ivars Peterson, « MathTrek: Martin Gardner's Lucky Number » sur www.sciencenews.org. Consulté le 2 novembre 2009
- (en) Eric W. Weisstein, « Lucky Number » sur mathworld.wolfram.com. Consulté le 2 novembre 2009
- (en) Neil J. A. Sloane, « A sequence of lucky numbers - A000959 » sur www.research.att.com. Consulté le 2 novembre 2009
- (en) Neil J. A. Sloane, « A sequence of lucky primes - A031157 » sur www.research.att.com. Consulté le 2 novembre 2009
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