Nombre carré centré

Nombre carré centré

Un nombre carré centré est un nombre figuré centré qui peut être représenté par un carré ayant un point en son centre et d'autres points placés autour du centre à une certaine distance (associée à la norme 1.) comme dans l'exemple suivant :

Zentrierte Quadratzahl.PNG

Pour tout entier strictement positif, le nombre carré centré de rang n est égal à :

n^2 + (n - 1)^2\,.

Autrement dit, un nombre carré centré est la somme de deux nombres carrés consécutifs. La figure suivante illustre bien ce fait :

Zentrierte Quadratzahl2.PNG


1 + 4\cdot \frac{n\cdot (n+1)}{2}.

Zentrierte Quadratzahl3.PNG

Les nombres carrés centrés peuvent aussi s'écrire sous la forme suivante (où n est un entier impair) :

{{n^2 + 1} \over 2}\,.

Les quatre premières valeurs de n (1,3,5,7) sont figurées ci-dessous. La figure est formée en considérant un carré de n point par points, et en sélectionnant la moitié des points, à partir du coin supérieur gauche, jusqu'au point central inclus.

*   ***  *****  *******
    **   *****  *******
         ***    *******
                ****

Les quelques premiers nombres carrés centrés sont :

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, …

Tous les nombres carrés centrés sont impairs, et en base 10 nous pouvons remarquer que leurs chiffres des unités suivent le modèle 1-5-3-5-1.

Tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs ont reste égal à un lorsqu'ils sont divisés par quatre. Ainsi tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs se terminent par le chiffre 1 ou 5 en base 6, 8 et 12.

Voyez également


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Nombre carré centré de Wikipédia en français (auteurs)

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