Nombre Cabtaxi

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Nombre cabtaxi

En mathématiques, le n-ième nombre cabtaxi, souvent noté Cabtaxi(n), est défini comme le plus petit entier pouvant s'écrire de n façons différentes (à l'ordre des termes près) comme somme de deux cubes positifs, nuls ou négatifs. Les nombres cabtaxi existent pour tout n >= 1 (puisque qu'il en est de même pour les nombres taxicab) ; mais seulement huit d'entre eux sont prouvés (suite n° A047696 de l'Encyclopédie électronique des suites entières):

Cabtaxi(1) = 0 = 13 − 13
\begin{matrix}Cabtaxi(2)&=&91&=&3^3 + 4^3 \\&&&=&6^3 - 5^3\end{matrix}
\begin{matrix}Cabtaxi(3)&=&728&=&6^3 + 8^3 \\&&&=&9^3 - 1^3 \\&&&=&12^3 - 10^3\end{matrix}
\begin{matrix}Cabtaxi(4)&=&2741256&=&108^3 + 114^3 \\&&&=&140^3 - 14^3 \\&&&=&168^3 - 126^3 \\&&&=&207^3 - 183^3\end{matrix}
\begin{matrix}Cabtaxi(5)&=&6017193&=&166^3 + 113^3 \\&&&=&180^3 + 57^3 \\&&&=&185^3 - 68^3 \\&&&=&209^3 - 146^3 \\&&&=&246^3 - 207^3\end{matrix}
\begin{matrix}Cabtaxi(6)&=&1412774811&=&963^3 + 804^3 \\&&&=&1134^3 - 357^3 \\&&&=&1155^3 - 504^3 \\&&&=&1246^3 - 805^3 \\&&&=&2115^3 - 2004^3 \\&&&=&4746^3 - 4725^3\end{matrix}
\begin{matrix}Cabtaxi(7)&=&11302198488&=&1926^3 + 1608^3 \\&&&=&1939^3 + 1589^3 \\&&&=&2268^3 - 714^3 \\&&&=&2310^3 - 1008^3 \\&&&=&2492^3 - 1610^3 \\&&&=&4230^3 - 4008^3 \\&&&=&9492^3 - 9450^3\end{matrix}
\begin{matrix}Cabtaxi(8)&=&137513849003496&=&22944^3 + 50058^3 \\&&&=&36547^3 + 44597^3 \\&&&=&36984^3 + 44298^3 \\&&&=&52164^3 - 16422^3 \\&&&=&53130^3 - 23184^3 \\&&&=&57316^3 - 37030^3 \\&&&=&97290^3 - 92184^3 \\&&&=&218316^3 - 217350^3\end{matrix}

Les nombres Cabtaxi(5), Cabtaxi(6) and Cabtaxi(7) ont été trouvés par Randall L. Rathbun; Cabtaxi(8) a été trouvé par Daniel J. Bernstein, qui a montré que Cabtaxi(9) >= 1019.

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