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Nombre premier super-singulier

En mathématiques, un nombre premier super-singulier est une certaine sorte de nombre premier.

Formellement, H désigne le demi-plan supérieur du plan complexe. Pour un nombre naturel n, \Gamma_0(n)\, désigne le groupe modulaire \Gamma_0\,, et soit w_n\, l'involution de Fricke définie par la matrice bloc [[0, −1], [n, 0]]. De plus, soit la courbe modulaire X_0(n)\, étant la compactification (ajouté de points manquants) de

Y_0(n) = \Gamma_0(n) \ H\,,

et pour un nombre premier p quelconque, définissons

X_0^+(p) = X_0(p)/w_p\,.

Alors, p est super-singulier, ce qui signifie, par définition, que le genre de X_0^+(p)\, est zéro.

Il est aussi possible de définir les nombres premiers super-singuliers à la manière de la théorie des nombres en utilisant les courbes elliptiques super-singulières définies sur la clôture algébrique du corps fini GF(p) qui ont leur -invariant dans GF(p). Comme il apparaît, il existe exactement quinze nombres premiers super-singuliers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 et 71, voir suite A002267 de l’OEIS. Il peut aussi être montré que les nombres super-singuliers sont exactement les facteurs premiers de l'ordre du groupe Monstre M.

Note : l'ensemble des nombres premiers super-singuliers est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres premiers de Chen.

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