Modèle d'Einstein

Modèle d'Einstein

En physique statistique et en physique du solide, le modèle d’Einstein est un modèle permettant de décrire la contribution des vibrations du réseau à la capacité calorifique d’un solide cristallin. Il est basé sur les hypothèses suivantes :

Ce modèle est nommé d’après Albert Einstein, qui l'a proposé en 1907[1].

Sommaire

Énergie interne

Les vibrations du réseau cristallin sont quantifiées[2], c’est-à-dire que les énergies de chaque mode normal de vibration ne peuvent prendre que des valeurs discrètes \hbar\omega_E. Ce modèle repose donc sur la dualité onde-particule des phonons et sur le fait que les 3N oscillateurs harmoniques[3] vibrent à la même fréquence, de manière isotrope.

L’énergie interne U du solide est donnée par la formule :

U = \frac{3N\hbar\omega_E}{e^{\beta\hbar\omega_E}-1}

où ℏ est la constante de Planck réduite, ωE est la pulsation d’un oscillateur, N le nombre d’atomes qui constituent le système et \beta = \frac{1}{k_{B}T} où kB est la constante de Boltzmann et T la température absolue.

Démonstration de la formule de l’énergie interne

L’énergie d’un oscillateur harmonique à une dimension vibrant à la fréquence \hbar\omega_E est donnée par :

E_n=\hbar\omega_E\left(n+\frac{1}{2}\right) (n\ge 0)

où n est un nombre quantique

On calcule la fonction de partition d’un oscillateur harmonique quantique qui est donnée par la relation :

Z=\sum_j e^{-\beta E_n}=\sum_j e^{-\beta(n+\frac{1}{2})\hbar\omega_E}\;\; \left(\text{avec }\beta = \frac{1}{k_{B}T}\right)

où kB est la constante de Boltzmann, T la température absolue et j est un état de l’oscillateur. Il y a un seul état par niveau d’énergie ; la somme devient donc :

Z=\sum_{n=0}^\infty e^{-\beta n\hbar\omega_E-\beta\frac{1}{2}\hbar\omega_E} = e^{-\frac{\beta\hbar\omega_E}{2}}\sum_{n=0}^\infty (e^{-\beta\hbar\omega_E})^n

En appliquant la formule de la somme d’une suite géométrique, on simplifie la fonction de partition :

Z = e^{-\frac{\beta\hbar\omega_E}{2}}\cdot\frac{1}{1-e^{-\beta\hbar\omega_E}}

On obtient alors l’énergie d’un oscillateur :

\bar{\epsilon}=-\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}

avec \ln Z = -\frac{\beta\hbar\omega_E}{2}-\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega_E}) ce qui donne

\bar{\epsilon} = \frac{\hbar\omega_E}{2}+\frac{\hbar\omega_{E}e^{-\beta\hbar\omega_E}}{1-e^{-\beta\hbar\omega_E}} = \frac{\hbar\omega_E}{2}+\frac{\hbar\omega_E}{e^{\beta\hbar\omega_E}-1}

On remarque au passage que \lim_{T \to 0}\bar{\epsilon} = \lim_{\beta \to +\infty}\bar{\epsilon} = \frac{\hbar\omega_E}{2}. Cette énergie correspond à l’énergie de point zéro pour ne pas violer le principe d’incertitude d’Heisenberg[4]. On ne tient pas compte de l’énergie de point zéro ce qui donne \bar{\epsilon} = \frac{\hbar\omega_E}{e^{\beta\hbar\omega_E}-1} L’énergie interne du système est alors : U = 3N\bar{\epsilon} = \frac{3N\hbar\omega_E}{e^{\beta\hbar\omega_E}-1}[5]

 

Capacité calorifique

La capacité calorifique CV est définie par :

C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V

avec \; U = 3N\bar{\epsilon} = \frac{3N\hbar\omega_E}{e^{\beta\hbar\omega_E}-1}\,, on obtient

C_V = \frac{3N\hbar^2\omega_E^2}{k_B T^2} \cdot \frac{e^{\beta\hbar\omega_E}}{\left(e^{\beta\hbar\omega_E}-1\right)^2} = (\beta\hbar\omega_E)^2 \cdot \frac{3Nk_{B}e^{\beta\hbar\omega_E}}{\left(e^{\beta\hbar\omega_E}-1\right)^2}

On peut définir la température d’Einstein comme \Theta_E=\frac{\hbar\omega_E}{k_B}. Tout cela nous donne C_V\left(T\right) = 3Nk_B\cdot\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)^2\cdot\frac{\exp\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)}{\left[\exp\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)-1\right]^2}

Résultats du modèle

La capacité calorifique obtenue à l’aide du modèle d’Einstein est une fonction de la température. La valeur expérimentale de 3Nk est retrouvée pour des températures élevées.

Le modèle d’Einstein retrouve la loi de Dulong et Petit, pour les hautes températures :

\lim_{T \to +\infty} C_V = 3Nk_B

Cependant, à basse température, ce modèle concorde moins avec les mesures expérimentales que celui de Debye :
Lorsque T \rightarrow 0\text{ : }C_V\propto 3Nk_B \left(\frac{\Theta_E}{T} \right)^2 e^{-\Theta_E/T}\rightarrow 0
Cette discordance avec l’expérience peut s’expliquer en abandonnant l’hypothèse selon laquelle les oscillateurs harmoniques vibrent à la même fréquence.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

  • Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l’état solide [« Solid state physics »] [détail des éditions] 
  • Bernard Diu, Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roulet, Éléments de physique statistique, 1996 [détail de l’édition] 
  • C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]


Notes et références de l'article

  1. ↑ (de) Albert Einstein, « Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme », dans Annalen der Physik, vol. 22, 1907, p. 180 [texte intégral] 
  2. ↑ Cette quantification est due aux conditions aux limites imposées au solide.
  3. ↑ On modélise les N atomes qui constituent le solide par 3N oscillateurs harmoniques quantiques à une dimension.
  4. ↑ À 0 K, tous les oscillateurs sont dans un même état (n=0). Si tous les états atomes étaient au repos, leur position et leur vitesse seraient bien déterminées (\vec{r} = \vec{0} et \vec{p}=\vec{0}) ce qui serait en contradiction avec le principe d’incertitude d’Heisenberg.
  5. ↑ L’énergie interne est égale au nombre d’oscillateur multipliée par l’énergie d’un seul oscillateur.

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