Marie-Sophie Germain

[La transcription qui suit respecte la copie exacte utilisée pour l'édition des Œuvres philosophiques : orthographe, ponctuation, accents, sont donc conformes à ceux de Gauss.]

Votre lettre du 20 février, mais qui ne m'est parvenue que le 12 mars, a été pour moi la source d'autant de plaisir que de surprise. Combien l'acquisition d'une amitié aussi flateuse et précieuse est-elle douce à mon cœur ! L'intérêt vif, que vous avez pris à mon sort pendant cette guerre funeste, mérite la plus sincère reconnaissance. Assurément, votre lettre au général Pernety m'eût été fort utile, si j'avais été dans le cas d'avoir recours à une protection spécielle de la part du gouvernement françois. Heureusement les evenements et les suites de la guerre ne m'ont pas touché de trop près jusqu'ici, bien que je sois persuadé qu'elles auront une grande influence sur le plan futur de ma vie. Mais comment vous décrire mon admiration et mon étonnement, en voïant se metamorphoser mon correspondant estimé M. Leblanc en cette illustre personnage, qui donne un exemple aussi brillant de ce que j'aurois peine de croire. Le goût pour les sciences abstraites en général et surtoût pour les mysteres des nombres est fort rare : on ne s'en étonne pas ; les charmes enchanteurs de cette sublime science ne se decelent dans toute leur beauté qu'à ceux qui ont le courage de l'approfondir. Mais lorsqu'une personne de ce sexe, qui, par nos mœurs et par nos préjugés, doit rencontrer infiniment plus d'obstacles et de difficultés, que les hommes, à se familiariser avec ces recherches epineuses, sait neansmoins franchir ces entraves et penétrer ce qu'elles ont de plus caché, il faut sans doute, qu'elle ait le plus noble courage, des talens tout à fait extraordinaires, le génie supérieur. En effet, rien ne pourroit me prouver d'une manière plus flatteuse et moins équivoque, que les attraits de cette science, qui ont embelli ma vie de tant de jouissances, ne sont pas chimériques, que la predilection, dont vous l'avez honorée.

Le notes savantes, dont toutes vos lettres sont si richement remplies, m'ont donné mille plaisirs. Je les ai étudiées avec attention, et j'admire la facilité avec laquelle vous avez pénétré toutes les branches de l'Arithmetique, et la sagacité avec laquelle vous les avez su généraliser et perfectionner. Je vous prie d'envisager comme une preuve de cette attention, si j'ose ajouter une remarque à un endroit de votre dernière lettre. Il me semble, que la proposition inverse, savoir « si la somme des puissances nemes de deux nombres quelconques est de la forme hh + nff, la somme de ces nombres eux-mêmes sera de la meme forme » est énoncée un peu trop generalement. Voici un exemple où cette règle est en défaut :

15¹¹ + 8¹¹ = 8649755859375 + 8589934592 = 8658345793967 = 1595826² + 11.745391².

Néanmoins 15 + 8 = 23 ne peut se reduire sous la forme xx + 11yy.

Il en est de même de la proposition : si l'un des facteurs de la formule yy + n zz (n étant un nombre premier) est de la forme (1,0,n), l'autre appartient nécessairement à la même forme. Votre démonstration ne prouve que ce, qu'aucune autre forme indefinie, que telle qui est équivalente à (1,0,n), multipliée par la forme (1,0,n), ne peut donner le produit (1,0,n), mais cette démonstration ne s'étend pas sur les nombres definis. Soit, pour le déterminante -n, C une classe de formes, quelconque mais ni équivalente à la principale, ni à aucune classe anceps, soit D la classe resultante de la duplication de c (qui sera différente de la principale), enfin soit D' la classe opposée à D. Il s'ensuit, que de la composition de C + C + D' resulte la classe principale. Ainsi si les deux nombres f, g peuvent être représentés par une forme de la classe c, et le nombre h par une forme de la classe D', le produit fgxh peut se réduire à (1,0,n) ; mais il est facile que fg ne se reduit pas seulement à D ou D' mais aussi à (1,0,n). Nous avons donc ici le cas, qu'un facteur fg, et le produit fg.h sont de la forme (1,0,n), sans que pourtant l'autre facteur y appartienne nécessairement. Au reste on voit facilement que le premier facteur doit être composé, sans cela la proposition serait juste. Dans l'exemple ci-dessus le facteur (15¹¹ + 8¹¹)/23 enveloppe le diviseur 67.

Depuis cinq ans des travaux astronomiques - auquels pour le dire en passant je dois surtout l'heureuse situation dont j'ai joui pendant la vie de notre duc, le victime malheureux de son attachement fidel à la maison de Prusse - m'ont empêché de me de delivrer autant qu'auparavant à ma predilection pour l'arithmetique et les autres branches de l'analyse. Je n'ai pas pourtant négligé celle-ci tout à fait. Tout au contraire j'ai rassemblé peu à peu un grand nombre de recherches, qui un jour formeront un autre volume - si non deux - certainement pas moins intéressant que le premier. Même dans le dernier hiver j'ai reussi à y ajouter une branche entièrement nouvelle. C'est la théorie des résidus cubiques et des résidus biquarrés, portée à un degré de perfection, égal à celui, qu'a atteint la théorie des résidus quarrés. Je mets cette théorie, qui repand un nouveau jour sur les résidus quarrés parmi les recherches les plus curieuses dont je me sois jamais occupé. Je ne saurais vous en donner une idée sans ecrire un Memoire expres. Voici pourtant quelque theoreme special, qui pourra servir d'un petit echantillon.

I. Soit p un nombre premier de la forme 3n + 1. Je dis, que 2. (c.a.d. +2 et -2) est résidu cubique de p, si p se reduit à la forme xx + 27.yy ; que 2 est non-résidu cubique de p, si 4p se reduit à cette forme. P.E.7.13.19.31.37.43.61.67.73.79.97. Vous ne trouverez que 31 = 4 + 27. 43 = 16 + 27, et 2 = 4³ (mod. 31) 2 = (-9³) (mod. 43).

II. Soit p un nombre premier de la forme 8n + 1. Je dis que +2 et -2 seront residus ou non-résidus biquarrés de p, suivant ce que p est ou n'est pas de la forme xx + 64 yy. Par exemple parmi les nombres 17.41.73.89.97.113.137 vous ne trouvez que 73 = 9 + 64. 89 = 25 + 64. 113 = 49 + 64, et 25⁴ = 2 (mod. 73), 5⁴ = 2 (mod. 89), 20⁴ = 2 (mod. 113).

La demonstration de ces theoremes et de ceux qui sont plus generaux sont intimement liés à des recherches delicates. - Voici une autre proposition relative aux residus quarrés, dont la demonstration est moins cachée : je ne l'ajoute pas, pour ne pas vous derober le plaisir de la developper vous-même, si vous la trouverez digne d'occuper quelques moments de votre loisir.

Soit p un nombre premier. Soient les p - 1 nombres inférieurs à p partagés en deux classes :

A..... 1, 2, 3, 4....½(p - 1)

B..... ½(p + 1), ½(p + 3), ½(p + 5), ... p - 1

Soit a un nombre quelconque non divisible par p. Multipliés tous les nombres A par a ; prenés-en les moindres residus selon le module p, soient, entre ces residus, α appartenants à A, et ϐ appartenent à B, de sorte que α + ϐ = ½(p - 1). Je dis que a è residu quarré de p lorsque ϐ è pair, non residu lorsque ϐ è impair.

On peut tirer de cette proposition plusieurs consequences remarquables ; entre autres, elle donne le moien d'etendre l'induction, par laquelle on rassemble des cas speciels du theoreme fondamental aussi loin qu'on veut, ce qui ne pourrait se faire par les methodes exposés art. 106-124.

J'ai donné dans mon ouvrage deux demonstrations rigoureuses de ce fameux theoreme, et j'en possede encor trois autres toutes entierement differentes entre elles ; deux d'entre elles même peuvent être conduites de deux differentes manieres chaqu'une ; ainsi je pourrois soutenir que je peus le demantrer de sept manieres differentes. Les autres demonstrations que je prefererois pour l'elegance aux deux données dans mon ouvrage, seront publiées aussitôt que j'y trouverai l'occasion. A propos, dans la première demonstration qui se trouve dans la IV^e section il s'est glissé une faute legere que je n'ai aperçue, qu'apres que je ne pouvois plus l'indiquer. Il faut donc faire la correction suivante : p. 146 (cas.(4))1.21 lisés comme il suit « Facile vero perspicitur, exista aequatione deduci poste haec a’pRh..... (α), ± a h R a’.... (ϐ), ± a h R p..... (γ). Ex. (α) sequitur, perinde ut in (e), h vel utruiusque a’, p vel neutrius residuum esse. Sed casus prior ideo est impossibilis, quod ex h R a’ et (ϐ) sequeretur a R a’ contra hypoth. Quamobrem necessario est h N p adeoque, per (γ) a N p. Q.E.D. »

Au reste à la page 144 il se trouve une faute d'impression non indiquée, savoir art. 139 ligne 3 au lieu de ± aNp il faut lire ± aRp.

J'aurois repondu plus tôt a votre lettre, mais la découverte d'une nouvelle planète par M. Olbers m'a un peu distrait. Par le premier essai que j'ai fait sur son orbite, je trouve son mouvement considerablement plus vite que celui de Ceres, Pallas et Junon, savoir 978’’ par jour. L'inclinaison de l'orbite 7°6’. L'excentricité 0,1. Cette planete a beaucoup plus de clarté que Ceres, Pallas et Junon et j'espere la trouver parmi les observations de l'histoire celeste, peut être même parmi celles de Humstead. Je viens d'achever un ouvrage étendu sur les methodes, qui me sont propres, à determiner les orbites des planètes. Mais quoique je l'aie ecrit en allemand, je trouve beaucoup de difficulté d'y engager un libraire. La guerre a suspendu tout commerce, plusieurs de nos plus grands libraires l'ont refusé. Je suis à present à traiter un autre qui se montre un peu plus courageux. S'il trouvera son conte à cette entreprise, peut-être il sera encouragé par la à risquer la publication d'un second volume de mes disquisitiones.

Continuez, Mademoiselle, de me favoriser de votre amitié et de votre correspondance, qui font mon orgueil, et soïes persuadée, que je suis et serai toujours avec la plus haute estime,

Votre plus sincere admirateur,

Ch. Fr. Gauss.

Bronsvic, ce 30 Avril 1807, jour de ma naissance.