Loi de puissance

Loi de puissance
La distribution d'une loi de puissance, correspondant à un classement de popularité des sites web. A gauche la zone verte illustre le principe des 80-20 de la loi de Pareto. A droite la queue de la distribution illustre l'effet longue traîne.

La loi de puissance est une relation mathématique entre deux quantités. Si une quantité est la fréquence d'un événement et l'autre est la taille d'un événement, alors la relation est une distribution de la loi de puissance si les fréquences diminuent très lentement lorsque la taille de l'événement augmente.

En science, une loi de puissance est une relation entre deux quantités x et y qui peut s'écrire de la façon suivante :

\scriptstyle y = ax^k\,\!

où a est une constante dite constante de proportionnalité et k est une autre constante, dite exposant, puissance, indice ou encore degré de la loi.

On observe des lois de puissance dans beaucoup de domaines scientifiques (physique, biologie, psychologie, sociologie, économie, linguistique). Elles permettent en effet de décrire tous les phénomènes qui présentent une invariance d'échelle.

Sur un graphique aux échelles logarithmiques, le graphe d'une loi de puissance est une droite. En effet, la relation ci-dessus peut s'écrire :

\scriptstyle \log(y) = k\log(x) + \log(a)\,\!

En posant \scriptstyle X = \log x, et \scriptstyle Y = \log y, on trouve l'équation d'une fonction affine \scriptstyle Y = \alpha X+\beta dont la pente \scriptstyle\alpha est la valeur de l'exposant k et l'ordonnée à l'origine \scriptstyle\beta est le logarithme de la constante de proportionnalité a

Loi de puissance statistique

Elle est facilement confondue avec la loi de probabilité log-normale car elles sont toutes les deux asymptotiques. Pour éviter cet écueil on peut utiliser des méthodes bayesiennes ou de test statistique d'hypothèse. La caractérisation par un graphique en échelle logarithmique peut prêter à confusion avec une distribution log-normale, une règle simple pour les différencier est de vérifier que le tracé log-log est droit sur au moins trois ordres de grandeurs.

La loi de puissance s'observe dans les wikis suivant la règle des 90-9-1 : 90 % de la population utilisatrice ne contribue pas ; neuf pour cent sont des contributeurs occasionnels et un pour cent de la population totale contribue régulièrement.

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