- Lemme des bergers
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En mathématiques, le lemme des bergers, ou principe des bergers[1] est une propriété combinatoire.
Il peut s'énoncer au niveau élémentaire par :
Lemme des bergers — Si un ensemble E possède une partition en p sous-ensembles contenant chacun r éléments, alors E contient p × r éléments.
Par exemple, un berger possédant p moutons, chacun muni de quatre pattes, sait qu'il a à sa disposition 4 × p pattes de mouton.
On peut utiliser ce lemme si on connaît le nombre d'éléments de E, un des nombres p et r étant connu mais pas l'autre, on en déduit celui des nombres p et r qu'on ne connaissait pas : il suffit de diviser le nombre d'éléments de E par p ou r suivant les cas.
Une phrase humoristique permet de retenir cette méthode : Quand les bergers veulent compter leurs moutons, ils comptent les pattes et divisent par quatre.
Une version plus abstraite et plus générale de ce principe s'énonce comme suit, en désignant par f -1( { y } ) l'ensemble des antécédents d'un élément y par une application f :
Principe des bergers[1] — Étant donnés deux ensembles quelconques X et Y, de cardinaux respectifs a et b, et une surjection f : X → Y telle que les ensembles f -1( { y } ), pour y élément de Y, aient tous même cardinal c, alors on a a = b × c.
Note et référence
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Théorie des ensembles, Paris, 1970, partie III, § 5, N° 8, proposition 9, p. III.41; rééd. Springer, 2006, partiellement consultable sur Google Livres, p. III.41.
Articles connexes
Catégories :- Analyse combinatoire
- Lemme de mathématiques
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