Lemme de recouvrement de Vitali

Le lemme de recouvrement de Vitali^[1] est un résultat combinatoire de théorie de l'intégration des espaces euclidiens. Il est largement utilisé dans des démonstrations en analyse réelle.

L'idée basique du lemme est la suivante : supposons que l'on ait une collection de disques dans le plan, autorisés à se superposer. Alors il est possible d'en extraire une sous-collection dont les disques ne s'intersectent pas, mais telle que si on multiplie par 3 leurs rayons, ces disques recouvrent la collection initiale.

Énoncé

Version finie : Soit $B 1,..., B n$ une collection de boules de ℝ^d. Alors, il existe une sous-collection disjointe $\scriptstyle B_{j_1},B_{j_2},\ldots,B_{j_m}$ de ces boules satisfaisant

$B_1\cup B_2\cup\cdots\cup B_n\subset 3B_{j_1}\cup 3B_{j_2}\cup\cdots\cup 3B_{j_m}$

où $\scriptstyle3B_{j_k}$ dénote la boule de même centre que $\scriptstyle B_{j_k}$ mais ayant 3 fois son rayon.

Version infinie : Soit $M$ un ensemble borné de ℝ^d ; ${B j}$ une collection infinie (dénombrable ou non) de boules de ℝ^d centrées en des points de $M$ et dont la réunion recouvre $M$ . Alors, il existe une sous-collection dénombrable de boules disjointes $\scriptstyle\{B_{j_k}\}_{k=1}^\infty$ de la collection initiale avec

$M\subset\bigcup_{k=1}^\infty 3B_{j_k}.$

Preuve

Dans la version finie :

Démonstration

Sans perte de généralité et quitte à réordonner les indices des boules, on peut supposer qu'elles sont rangées par ordre de rayon décroissant, plus précisément si pour tout $k\in\{1,...,n\},\quad r_k$ désigne le rayon de la boule $B k$ alors $r_1\ge r_2\ge...\ge r_n$ . On pose $j 1 = 1$ et on retire toutes les boules qui ont une intersection non vide avec $B 1$ . On pose $j 2$ le plus grand entier parmi les indices des boules restantes s'il y en a. On retire des boules restantes toutes les boules ayant une intersection non vide avec $B_{j_2}$ . On recommence ce processus qui s'arrête au bout d'un nombre de fini d'étapes (le nombre de boules étant fini). On a alors une partie ${j 1, j 2,..., j m}$ de ${1,..., n}$ telle que les boules $B_{j_i}$ sont disjointes et si $x\in\bigcup_{k=1}^{n}B_k$ alors il existe $p\in\{1,...,n\}$ tel que $x\in B_p$ et par construction il existe $j_l\in\{j_1,j_2,...,j_m\}$ tel que $B_p\cap B_{j_l}\neq\empty$ et $r_{j_l}\ge r_p$ , en prenant $y\in B_p\cap B_{j_l}$ on a alors si $x p$ désigne le centre de $B p$ et $x_{j_l}$ le centre de $B_{j_l}$ : $|x_{j_l}-x|\le|x_{j_l}-y|+|y-x_p|+|x_p-x|\le 3r_{j_l}$ donc $x\in 3B_{j_l}$ et on a bien démontré que $\bigcup_{k=1}^nB_k\subset\bigcup_{i=1}^m3B_{j_i}$ .

Dans la version infinie :

Démonstration

On peut supposer sans perte de généralité que la famille des rayons est bornée. Sinon, comme le domaine est borné, une seule boule suffisamment grosse suffit à couvrir $M$ . On reproduit la preuve précédente en prenant à chaque fois une boule dont le rayon excède la moitié de la borne supérieure des boules qui n'intersectent pas la zone déjà couverte. Éventuellement, le procédé peut s'arrêter en temps fini si on a tout recouvert. Soit $B (x, r)$ une boule de la collection initiale. Si la séquence s'est arrêtée, il est clair qu'elle intersecte une des boules choisies, sinon on aurait pu continuer la séquence. Sinon, la suite des rayons tend vers 0 car on ne peut loger une infinité de boules disjointes de rayon minoré dans un domaine borné. Alors la boule $B (x, r)$ intersecte la suite des rayons des boules dès que cette séquence passe en dessous de r. Finalement, dans tous les cas, toute boule $B (x, r)$ de la famille intersecte une boule de rayon plus grand de la sous-famille extraite. Cela donne le résultat par l'inégalité triangulaire comme précédemment.

Applications

Une application directe du lemme de recouvrement de Vitali permet de prouver l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood. Comme dans cette preuve, le lemme de Vitali est fréquemment utilisé lorsque, par exemple, on étudie la mesure de Lebesgue, $m$ , d'un ensemble E⊂ℝ^d, que l'on sait être contenu dans l'union d'une certaine collection de boules ${B j}$ , chacune d'entre elles ayant une mesure pouvant être calculée aisément, ou ayant une propriété particulière que l'on souhaite exploiter. Donc, si l'on calcule la mesure de cette union, on aura une borne supérieure de la mesure de $E$ . Cependant, il est difficile de calculer la mesure de l'union de ces boules si elles se superposent. Avec les théorème de Vitali, on peut choisir une sous-collection $\{B_{j_k}\}$ disjointe. Alors, en triplant leur rayon, cette subcollection transformée contiendra le volume occupé par la collection de boules originale, et donc couvrira $E$ . On a donc,

$m(E)\le m\left(\bigcup_jB_j\right)\le m\left(\bigcup_k3B_{j_k}\right)\le\sum_km(3B_{j_k}).$

Comme on triple le rayon d'une boule de dimension d revient à multiplier son volume par un facteur de $3 d$ , on a:

$\sum_km(3B_{j_k})=3^d\sum_km(B_{j_k})$

et donc :

$m(E)\le 3^d\sum_km(B_{j_k}).$

On peut utiliser cette approche en considérant la dimension de Hausdorff à la place de la mesure de Lebesgue. Dans ce cas, on obtient le théorème suivant.

Théorème de recouvrement de Vitali

Définition. Pour un ensemble E⊂ℝ^d, on définit la classe de Vitali $\scriptstyle\mathcal V$ pour E comme étant une collection d'ensembles tel que pour tout x∊E et δ > 0 il existe un ensemble U∊ $\scriptstyle\mathcal V$ tel que x∊U et le diamètre de U est plus petit que δ.

Théorème. Soit E⊂ℝ^d un ensemble $H s$ -mesurable et $\scriptstyle\mathcal V$ une classe de Vitali pour E. Alors il existe une collection disjointe, dénombrable $\scriptstyle\{U_j\}\subset\mathcal V$ telle que

$\text{soit}~H^s(E\backslash\bigcup_jU_j)=0,\mbox{ soit }\sum_jd(U_j)^s=\infty.$

De plus, si E a une mesure de Hausdorff finie, alors pour tout ε > 0, on peut choisir cette sous-collection ${U j}$ telle que

$H^s(E)\le\sum_jd(U_j)^s+\varepsilon.$

Note et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Vitali covering lemma » (voir la liste des auteurs)
(en) Michael E. Taylor, Measure theory and integration, AMS
(en) K. J. Falconer, The Geometry of Fractal Sets, CUP, 1985
(en) Rami Shakarchi et Elias Stein, Princeton Lectures in Analysis III: Real Analysis, PUP, 2005.

↑ (it) Giuseppe Vitali, « Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali », dans Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino, vol. 43, 1908, p. 75-92

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