La preuve que 22 / 7 dépasse π

La preuve que 22 / 7 dépasse π

22 / 7 dépasse π

Les preuves du célèbre résultat mathématique que le nombre rationnel 22 / 7 est supérieur à π remontent à l'Antiquité. Ce qui suit est une démonstration mathématique moderne que 22 / 7> π, nécessitant uniquement des techniques élémentaires de calcul. Le but n'est pas d'abord de convaincre le lecteur que 22 / 7 est en effet plus grand que π; des méthodes de calcul systématiques de la valeur de π existent. Contrairement à certaines preuves élémentaires, le calcul fondé sur la preuve présentée ici est simple, son élégance résultant de ses liens avec la théorie des approximations diophantines. Stephen Lucas qualifie cette proposition de "l'un des plus beaux résultats liés à l'approximation de π". Julian Havil met fin à une discussion sur les fractions approchant π avec ce résultat, le décrivant comme "impossible de ne pas être mentionné" dans ce contexte.

0<\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx=\frac{22}{7}-\pi.

Les détails

Il reste de démontrer que l'intégral en effet evalue à la quantité désirée:

0\, <\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx
=\int_0^1\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}\,dx (développer les termes du numérateur)
=\int_0^1 \left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\right) \,dx (faire la division polymomiale, un aspect important de la formulation de la géométrie algébrique)
=\left.\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+ x^5- \frac{4x^3}{3}+4x-4\arctan{x}\,\right|_0^1 (integration définie)
=\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi\ (substituer un pour x, puis zéro pour x, et faire soustraire l'un de l'autre, utiliser arctan(1) = π/4)
=\frac{22}{7}-\pi. (addition)
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « 22 / 7 d%C3%A9passe %CF%80 ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article La preuve que 22 / 7 dépasse π de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • PREUVE (épistémologie) — Une proposition est dite prouvée si, ayant été établie par une méthode reconnue, elle fait l’objet d’une croyance. Cette formulation permet de distinguer quatre versants dans la théorie de la preuve: 1o un élément sémantico formel, la proposition …   Encyclopédie Universelle

  • Preuve ontologique — Argument ontologique L argument ontologique visant à prouver l existence de Dieu cherche à montrer que Dieu existe nécessairement, en vertu de la définition de ce qu est Dieu. Formulé de nombreuses fois au cours de l histoire, c est cependant à… …   Wikipédia en Français

  • Premier discours d'investiture de Ronald Reagan en tant que president des Etats-Unis — Premier discours d investiture de Ronald Reagan en tant que président des États Unis Le président Ronald Reagan le jour de son inauguration Le premier discours d’investiture de Ronald Reagan en tant que président des États Unis d’Amérique est le… …   Wikipédia en Français

  • Premier discours d'investiture de Ronald Reagan en tant que président des États-Unis — Le président Ronald Reagan le jour de son inauguration Le premier discours d’investiture de Ronald Reagan en tant que président des États Unis d’Amérique est le discours d’investiture que prononça Ronald Reagan en tant que président des États… …   Wikipédia en Français

  • Premier discours d'investiture de ronald reagan en tant que président des états-unis — Le président Ronald Reagan le jour de son inauguration Le premier discours d’investiture de Ronald Reagan en tant que président des États Unis d’Amérique est le discours d’investiture que prononça Ronald Reagan e …   Wikipédia en Français

  • Première adresse inaugurale de Ronald Reagan en tant que Président des États-Unis d'Amérique — Premier discours d investiture de Ronald Reagan en tant que président des États Unis Le président Ronald Reagan le jour de son inauguration Le premier discours d’investiture de Ronald Reagan en tant que président des États Unis d’Amérique est le… …   Wikipédia en Français

  • Coma dépassé — Mort cérébrale La mort cérébrale, appelée également coma dépassé ou coma de type IV, est définie comme l état de cessation complète et définitive de l activité cérébrale, alors que la circulation sanguine persiste. L absence apparente de… …   Wikipédia en Français

  • 22 / 7 dépasse π — Les preuves du célèbre résultat mathématique que le nombre rationnel 22 / 7 est supérieur à π remontent à l Antiquité. Ce qui suit est une démonstration mathématique moderne que 22 / 7> π, nécessitant uniquement des techniques élémentaires de… …   Wikipédia en Français

  • Pierre André de Suffren — Pour les articles homonymes, voir Suffren. Pierre André de Suffren …   Wikipédia en Français

  • Histoire de la marine française — L histoire de la Marine française couvre la période du XIIIe siècle au XXIe siècle. Elle est marquée par une alternance de hauts et de bas, la Marine française rencontrant au cours de son histoire trois difficultés majeures qui… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”