22 / 7 dépasse π

22 / 7 dépasse π

22 / 7 dépasse π

Les preuves du célèbre résultat mathématique que le nombre rationnel 22 / 7 est supérieur à π remontent à l'Antiquité. Ce qui suit est une démonstration mathématique moderne que 22 / 7> π, nécessitant uniquement des techniques élémentaires de calcul. Le but n'est pas d'abord de convaincre le lecteur que 22 / 7 est en effet plus grand que π; des méthodes de calcul systématiques de la valeur de π existent. Contrairement à certaines preuves élémentaires, le calcul fondé sur la preuve présentée ici est simple, son élégance résultant de ses liens avec la théorie des approximations diophantines. Stephen Lucas qualifie cette proposition de "l'un des plus beaux résultats liés à l'approximation de π". Julian Havil met fin à une discussion sur les fractions approchant π avec ce résultat, le décrivant comme "impossible de ne pas être mentionné" dans ce contexte.

0<\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx=\frac{22}{7}-\pi.

Les détails

Il reste de démontrer que l'intégral en effet evalue à la quantité désirée:

0\, <\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx
=\int_0^1\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}\,dx (développer les termes du numérateur)
=\int_0^1 \left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\right) \,dx (faire la division polymomiale, un aspect important de la formulation de la géométrie algébrique)
=\left.\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+ x^5- \frac{4x^3}{3}+4x-4\arctan{x}\,\right|_0^1 (integration définie)
=\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi\ (substituer un pour x, puis zéro pour x, et faire soustraire l'un de l'autre, utiliser arctan(1) = π/4)
=\frac{22}{7}-\pi. (addition)
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « 22 / 7 d%C3%A9passe %CF%80 ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article 22 / 7 dépasse π de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • dépassé — dépassé, ée [ depase ] adj. • 1690; de dépasser 1 ♦ Qu un rival a dépassé, dont le but a été mieux atteint, mieux réalisé par un autre. Vous êtes dépassé dans ce domaine. ⇒ battu. 2 ♦ Qui n a plus cours, parce qu on a trouvé mieux depuis. Une… …   Encyclopédie Universelle

  • dépassé — dépassé, ée (dé pâ sé, sée) part. passé. Au delà duquel on est allé. But dépassé    Devancé. Le premier coureur finalement dépassé par celui qui venait après.    Retiré d une coulisse. Un cordon dépassé …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • Depasse — Nom porté dans le nord de la France et en Belgique. Désigne celui qui est originaire d un lieu dit (le) Pas(se) = le passage. Variante : Depas …   Noms de famille

  • depassé — Depassé, [depass]ée. part …   Dictionnaire de l'Académie française

  • Jef Depassé Huisman — Retrato del escultor Nombre de nacimiento Jef Depassé Huisman Nacimiento 9 …   Wikipedia Español

  • Ou l'homme depasse l'homme — Où l homme dépasse l homme Article principal : Star Trek (série télévisée). Où l homme dépasse l homme (Where No Man Has Gone Before) est le troisième épisode de la première saison de la série télévisée Star Trek. Sommaire 1 Synopsis 2… …   Wikipédia en Français

  • Où l'homme dépasse l'homme — Épisode de Star Trek Titre original Where No Man Has Gone Before Numéro d’épisode Saison 1 Épisode 3 Code de production 2/80 Invité(s) Gary Lockwood Réalisation James Goldst …   Wikipédia en Français

  • être dépassé — ● être dépassé verbe passif Être en retard par rapport à la société actuelle, être périmé, n avoir plus cours, être devenu caduc : Technique dépassée. Ne plus dominer la situation. ● être dépassé (expressions) verbe passif Coma dépassé, état… …   Encyclopédie Universelle

  • Coma dépassé — Mort cérébrale La mort cérébrale, appelée également coma dépassé ou coma de type IV, est définie comme l état de cessation complète et définitive de l activité cérébrale, alors que la circulation sanguine persiste. L absence apparente de… …   Wikipédia en Français

  • Douce Nuit, Sanglante Nuit : Coma Dépassé — Douce nuit, sanglante nuit 3 est la seconde suite du film Douce nuit, sanglante nuit. Le film a été réalisé par Monte Hellman et est sorti en 1989 directement en vidéo. C était aussi le dernier film de la série. Synopsis L intrigue tourne autour… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”