Isométrie Partielle

Isométrie partielle

En analyse fonctionnelle, une isométrie partielle est une application linéaire entre deux espaces de Hilbert dont la restriction au complément orthogonal de son noyau est une isométrie.
Ce complément orthogonal du noyau est appelé le sous-ensemble initial et son image est appelée sous-ensemble final.

Exemples

Tout opérateur unitaire sur un espace de Hilbert est une isométrie partielle dont les espaces initiaux et finaux sont l'espace de Hilbert considéré.
Sur l'espace de Hilbert de dimension C², l'application linéaire représentée par la matrice $\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ est une isométrie partielle ayant pour espace initial $\{0\} \oplus \mathbb{C} \subseteq \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}$ et d'espace final $\mathbb{C} \oplus \{0\}.$

Autre définition

Si U est une isométrie définie sur sous-espace fermé H₁ d'un espace de Hilbert H, alors il existe une unique extension W de U sur tout H qui soit une isométrie partielle. Cette extension est définie en la prolongeant par 0 sur le complément orthogonal de H₁.
On appelle ainsi parfois isométrie partielle une isométrie définie sur un sous-espace fermé d'un Hilbert.

Caractérisation

Les isométries partielles sont aussi caractérisées par le fait que soit W W* ou soit W* W soit une projection. Si cela se produit, W W* et W* W sont toutes 2 des projections. Cela permet de définir une isométrie partielle pour des C*-algèbres de la manière suivante:

Si A est une C*-algèbre, W ∈ A est une isométrie partielle si et seulement si W W* ou W* West une projection (endomorphisme autoadjoint idempotent) dans A. Dans ce cas W W* et W* W sont des projections, et

W*W est appelée projection initiale de W.
W W* est appelée projection finale de W.

Quand A est algèbre d'opérateurs, l'image de ces projections sont respectivement des sous-espaces initiaux et finauxde W.

On peut aussi montrer que les isométries partielles sont caractérisées par l'équation:

W = W W * W .

2 projection, dont l'une est la projection initiale et l'autre la projection finale sont dites équivalentes.Il s'agit d'une relation d'équivalence et joue un rôle important en K-théorie pour les C*-algèbres, et dans la théorie des projections de Murray-von Neumann pour des Algèbre de von Neumann.

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Catégorie : Théorie des opérateurs

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