- Inégalité de Bernoulli
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Sommaire
Définition
L'inégalité de Bernoulli[1],[2] stipule que :
1+nx~" border="0">
pour tout entier naturel n > 1 et tout nombre nombre réel x non nul et strictement supérieur à −1.
Démonstration par récurrence
On suppose fixé un réel
et on montre l'inégalité pour tout entier n≥2, par récurrence sur n.
- Initialisation : (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x donc la propriété est vraie au rang 2.
- Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que (1 + x)k > 1 + kx et montrons que la propriété est vraie au rang suivant k + 1, c'est-à-dire montrons que (1 + x)k + 1 > 1 + (k + 1)x.
En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par 1 + x (qui par hypothèse est strictement positif) on obtient :
1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2\ge 1+(k+1)x." border="0">
- Conclusion :
La propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 2.
Généralisation
Pour tout nombre réel r > 1 et tout nombre réel x non nul et strictement supérieur à −1, on a encore :
1+rx.~" border="0">
Cette fois c'est r qu'on fixe (strictement supérieur à 1), et on étudie les variations de la fonction f définie sur
par :
le but étant de montrer que f(x) > 0 pour tout x non nul appartenant à D.
La dérivée de f sur D est donnée par :
qui est du même signe que (1 + x)r − 1 − 1.
Mais comme r − 1 > 0, la fonction qui à tout réel positif y associe yr − 1 vérifie :
1^{r-1}=1," border="0">
autrement dit
1," border="0">
si bien que
0." border="0">
Par conséquent, la fonction f (continue en 0) est strictement décroissante sur l'intervalle ] − 1,0] et strictement croissante sur l'intervalle
.
Comme elle s'annule en 0, on a donc bien f > 0 sur l'ensemble
.
Notes et références
- (en) Eric W. Weisstein, « Bernoulli Inequality », MathWorld
- (en) Visualisation par une animation interactive, sur demonstrations.wolfram.com
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