Inégalité De Bernoulli

Inégalité de Bernoulli

Définition

L'inégalité de Bernoulli stipule que :

$(1+x)^n > 1+nx~$

pour tout entier naturel n ≥ 2 et tout nombre réel x non nul et strictement supérieur à −1.

Démonstration

Soit $x\in\mathbb{R^{\star}}$ tel que $x > -1~$ et $n\in\mathbb{N^*}$ et on cherche à montrer que $\left(1+x\right)^n > 1+nx$

On va définir la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f\left(x\right)=\left(1+x\right)^n - \left(1+nx\right)$

On va montrer que la fonction $f (x) > 0$ sur l'intervalle $\left]-1,0\right[ \cup \left]0,+\infty\right[$
La dérivée de la fonction sur le domaine considéré est :

$f'\left(x\right)=n\left(1+x\right)^{n-1}-n$

$f'\left(x\right)=n\left(\left(1+x\right)^{n-1}-1\right)$

On étudie maintenant le signe de la dérivée :

$f'\left(x\right)=0 \Longleftrightarrow n=0$ ou $\left(1+x\right)^{n-1}-1 = 0$

or $n\in\mathbb{N^*}$ donc:

$f'\left(x\right)=0 \Longleftrightarrow \left(1+x\right)^{n-1}-1 = 0$

$f'\left(x\right)=0 \Longleftrightarrow \left(1+x\right)^{n-1}=1$

$f'\left(x\right)=0 \Longleftrightarrow 1+x = 1$ ou

n - 1 = 0

$f'\left(x\right)=0 \Longleftrightarrow x = 0$ ou

n = 1

$f'\left(x\right)<0$ pour $x\in\left]-1,0\right[$ et

$f'\left(x\right)>0$ pour $x\in\left]0,+\infty\right[$

La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-1,0\right[$ et strictement croissante sur l'intervalle $\left]0,+\infty\right[$ .
Pour $x=0~$ , on a $\left(1+x\right)^n - \left(1+nx\right)=0$
On a donc bien $f > 0$ sur l'intervalle $\left]-1,0\right[ \cup \left]0,+\infty\right[$ .

Autre démonstration

Voici une démonstration par récurrence

1) Initialisation :

Pour n=2 en supposant x non nul on a :

$1+2x+x^2>1+2x~$

ou encore :

$(1+x)^2>1+2x~$

Donc la propriété est vraie au rang 2.

2) Hérédité :

Hypothèse de récurrence : $(1+x)^k>1+kx~$

Montrons que la propriété est vraie au rang suivant k+1 :

$(1+x)^k>1+kx~$

$(1+x)^k(1+x)>(1+kx)(1+x)~$ en effet on ne change pas le sens de l'inégalité car on suppose x>-1 donc x+1>0

$(1+x)^{k+1}>1+x+kx+kx^2~$

$1+x+kx+kx^2=1+(k+1)x+kx^2>1+(k+1)x~$

D'où

$(1+x)^{k+1}>1+(k+1)x~$

3) Conclusion :

La propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 2 avec x non nul et strictement supérieur à -1.

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