Inegalite de Bernoulli

Inegalite de Bernoulli

Inégalité de Bernoulli

Définition

L'inégalité de Bernoulli stipule que :

(1+x)^n > 1+nx~

pour tout entier naturel n ≥ 2 et tout nombre réel x non nul et strictement supérieur à −1.

Démonstration

Soitx\in\mathbb{R^{\star}} tel que x > -1~ et n\in\mathbb{N^*} et on cherche à montrer que \left(1+x\right)^n > 1+nx

On va définir la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=\left(1+x\right)^n - \left(1+nx\right)

On va montrer que la fonction f(x) > 0 sur l'intervalle \left]-1,0\right[ \cup \left]0,+\infty\right[
La dérivée de la fonction sur le domaine considéré est :

f'\left(x\right)=n\left(1+x\right)^{n-1}-n
f'\left(x\right)=n\left(\left(1+x\right)^{n-1}-1\right)

On étudie maintenant le signe de la dérivée :

f'\left(x\right)=0 \Longleftrightarrow n=0 ou \left(1+x\right)^{n-1}-1 = 0

or n\in\mathbb{N^*} donc:

f'\left(x\right)=0 \Longleftrightarrow \left(1+x\right)^{n-1}-1 = 0
f'\left(x\right)=0 \Longleftrightarrow \left(1+x\right)^{n-1}=1
f'\left(x\right)=0 \Longleftrightarrow 1+x = 1 ou n − 1 = 0
f'\left(x\right)=0 \Longleftrightarrow x = 0 oun = 1
f'\left(x\right)<0 pour x\in\left]-1,0\right[ et
f'\left(x\right)>0 pour x\in\left]0,+\infty\right[

La fonction f est donc strictement décroissante sur l'intervalle \left]-1,0\right[ et strictement croissante sur l'intervalle \left]0,+\infty\right[.
Pour x=0~, on a \left(1+x\right)^n - \left(1+nx\right)=0
On a donc bien f > 0 sur l'intervalle \left]-1,0\right[ \cup \left]0,+\infty\right[.

Autre démonstration

Voici une démonstration par récurrence

1) Initialisation :

Pour n=2 en supposant x non nul on a :

1+2x+x^2>1+2x~

ou encore :

(1+x)^2>1+2x~

Donc la propriété est vraie au rang 2.

2) Hérédité :

Hypothèse de récurrence : (1+x)^k>1+kx~

Montrons que la propriété est vraie au rang suivant k+1 :

(1+x)^k>1+kx~
(1+x)^k(1+x)>(1+kx)(1+x)~ en effet on ne change pas le sens de l'inégalité car on suppose x>-1 donc x+1>0
(1+x)^{k+1}>1+x+kx+kx^2~

Or

1+x+kx+kx^2=1+(k+1)x+kx^2>1+(k+1)x~

D'où

(1+x)^{k+1}>1+(k+1)x~

3) Conclusion :

La propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 2 avec x non nul et strictement supérieur à -1.

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