- Mouvement Central Discret
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Mouvement central discret
Pour des personnes n'ayant aucun bagage en calcul différentiel et intégral, la mécanique peut quand même se comprendre en utilisant le calcul des différences discrètes : c'est-à-dire transposer les règles différentielles en règles de différence, mais en ajustant la force de manière adroite.
On peut ainsi faire comprendre le Mouvement à force centrale, même à des personnes ne possédant pas le calcul différentiel et intégral ( cf Feynman).
Sommaire
Mouvement newtonien discret
Le mouvement est plan. Le centre de force est le Soleil placé à l'origine O . Les coordonnées de la planète
sont appelées
. Le théorème de Pythagore donne
.
On notera les positions successives de la planète P aux temps
,
de coordonnées
.La durée τ est une durée appelée "pas temporel discret du calcul" : plus il est petit et meilleure est la trajectoire, mais plus les calculs sont longs.
On appelle vitesse de la planète selon l'axe
,
et selon l'axe
,
:
Le théorème de Pythagore donne
.
Mais attention, on appelle vitesse discrète
entre le point
et le point
:
.
et idem pour
:
.
L'accélération
sera
et selon
:
.
Le principe fondamental de la dynamique énoncé par Newton en 1687 consiste à dire : étant deux points initiaux
et
on donne la règle générale qui à partir de ces deux points permet de calculer le suivant ; alors on continue
- On peut en déduire
- Puis à partir de
et
, calculer
- Et continuer ainsi pour calculer tous les points de la trajectoire.
C'est une règle simple. Il en existe de plus sophistiquées, certes.
Loi de force newtonienne discrète
Dans le cas du mouvement des planètes, cas discret, la loi de Newton est légèrement modifiée : la composante de l'accélération selon
est :
et idem selon
:
Grâce à cette loi de force, on peut démontrer par un calcul dit télescopique (les termes s'éliminent progressivement) que :
- l'énergie cinétique s'écrit
- le travail élémentaire de la force s'écrit
,
- le travail total
est
.
- On trouve alors la conservation de l'énergie mécanique :
.
- En faisant tous les calculs, on trouve
tout simplement.
Méthode d'itération
Là se pose le vrai problème :
En effet , il faudra résoudre le système de 4 équations (non linéaires) à 4 inconnues x(2),y(2),u(2) et v(2), qui est assez compliqué , mais que tout système type maple est capable de résoudre.
Il suffit alors de réitérer avec x(1),y(1),u(1),v(1) comme point de départ.
On vérifiera qu'au cours du calcul, l'énergie reste bien constante aux arrondis de calculs près. Les trajectoires sont au moins aussi belles que celles données par une méthode de Runge-Kutta d'ordre 4.
Remarque : comme pour tout calcul numérique, on n'opère jamais brutalement avec les valeurs réelles en S.I. qui n'a évidemment aucun sens pour un ordinateur. On opère donc en unité réduite, bâtie à partir du système d'unités naturelles des 4 équations récurrentes à étudier.
Loi de Hooke
Dans ce cas la loi de force est plus simple, puisque l'on remplace la loi de Hooke par la loi de Hooke discrète :
Les calculs se conduisent ensuite comme précédemment.
Evidemment cette fois , on obtient une ellipse dont le centre de force O est le centre de l'ellipse.
- Note-conjecture : existe-t-il une transformation d'Arnold, de ce problème en le précédent ?
Bibliographie
- Greenspan, Computer-oriented mathematical physics, ed Pergamon, ISBN 0080264719
Voir aussi
- Analyse numérique des équations différentielles
- Dérivée seconde discrète
- Laplacien discret
- Mouvement à force centrale
- Portail de la physique
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