Homothétie (mathématiques élémentaires)

Homothétie (mathématiques élémentaires)

Dans la « vie courante », l'homothétie correspond aux agrandissements et aux réductions.

Article détaillé : homothétie.

Définition

Soit un point M,un point O et un nombre k.

On dit que le point M' est l'image du point M par l' homothétie de centre O et de rapport k si

\overrightarrow{OM'}=k.\overrightarrow{OM}\,

Construction de l'homothétique d'un point

  • Tracer la droite (OM).
  • Si k est positif, placer sur (OM) le point M' tel que le sens de O vers M soit le même que celui de O vers M' .
  • Si k est négatif, placer sur (OM) le point M' tel que le sens de M vers O soit le même que celui de O vers M' .
  • Alors M' est l'homothétique de M.

Propriétés

Propriété 1 : L'homothétique d'une droite d est une droite parallèle à d. Celui d'un segment [AB] est un segment [ A'B' ] tel que A'B' = |k| AB .

Propriété 2 : L'homothétique d'un cercle de centre A et de rayon r est un cercle de centre l'homothétique de A, et de rayon |k|r.

Propriété 3 dite "de conservation" : L'homothétie conserve :

  • les angles (l'homothétique d'un angle est un angle de même mesure);
  • les parallèles (les homothétiques de deux droites parallèles sont parallèles) ;
  • les rapports de longueurs (cf. le théorème de Thalès).

Propriété 4: Une homothétie de rapport :

  • k>1 est un agrandissement de rapport k;
  • k<1 est une réduction de rapport {1\over k}.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Homothétie (mathématiques élémentaires) de Wikipédia en français (auteurs)

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