Homothetie (mathematiques elementaires)

Homothetie (mathematiques elementaires)

Homothétie (mathématiques élémentaires)

Fig. 1. L'image par une chambre noire correspond à une homothétie de centre la lentille et de rapport négatif.

Dans la « vie courante », l'homothétie correspond aux agrandissements et aux réductions.

Définition

Soit un point M,un point O et un nombre k.

On dit que le point M' est l' homothétie de M par l' homothétie de centre O et de rapport k(ou h(o,k)) si, et seulement si, \overrightarrow{OM'}=k.\overrightarrow{OM}\,

Construction de l'homothétique d'un point

  • Tracer la droite (OM).
  • Si k est positif, placer sur (OM) le point M' tel que le sens de O vers M soit le même que celui de O vers M' .
  • Si k est négatif, placer sur (OM) le point M' tel que le sens de M vers O soit le même que celui de O vers M' .
  • Alors M' est l'homothétique de M.

Propriétés

Propriété 1 : L'homothétique d'une droite d est une droite d' qui est parallèle à d.Celui d'un segment [AB] est un segment [ A'B' ] tel que AB = |k| A'B' .

Propriété 2 : L'homothétique d'un cercle C de centre A et de rayon r est un cercle C' de centre A' , l'homothétique de O, et de rayon r' =|k|r.

Propriété 3 dite "de conservation" : L'homothétie conserve :

  • les angles(l'homothétique d'un angle est un angle de même mesure);
  • les parallèles (les homothétiques de deux droites parallèles sont parallèles);
  • les rapports de longueurs (cf.le Théorème de Thalès).

Propriété 4: Une homothétie de rapport :

  • k>1 est un agrandissement de rapport k;
  • k<1 est une réduction de rapport {1\over k}.
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