Hiérarchie de Borel

Hiérarchie de Borel

La hiérarchie de Borel désigne une description de la tribu des boréliens d'un espace topologique X comme une réunion croissante d'ensembles de parties de X, indexée par le premier ordinal non dénombrable.

Sommaire

Notations préliminaires

Soit \mathcal{F} un ensemble de parties d'un ensemble \quad X. On note \mathcal{F}_{\sigma} l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de \mathcal{F}:

\mathcal{F}_{\sigma} = \bigg\{ \bigcup_{n\in \N} A_n \mid (A_n)_{n\in \N} \subset \mathcal{F}\bigg\}.

et \mathcal{F}_{\delta} l'ensemble des intersections dénombrables de \mathcal{F}:

\mathcal{F}_{\delta} = \bigg\{\bigcap_{n\in \N} A_n \mid (A_n)_{n\in \N} \subset \mathcal{F}\bigg\}.

On note par ailleurs ω1 le premier ordinal non dénombrable, c'est-à-dire l'ensemble des ordinaux dénombrables.

Définition de la hiérarchie de Borel

Soit un espace topologique métrisable (X,\mathcal{T}).

On initialise une induction transfinie sur l'ordinal \alpha\in\omega_1 en notant \mathbf{\Sigma}_1^0 l'ensemble des ouverts de X (en d'autres termes \mathbf{\Sigma}_1^0=\mathcal{T}), et \mathbf{\Pi}_1^0 l'ensemble des fermés.

Puis, on définit alors par induction transfinie deux familles d'ensembles :

\mathbf{\Sigma}_{\alpha}^0=(\bigcup_{\beta<\alpha} \mathbf{\Pi}_{\beta}^0)_{\sigma},

\mathbf{\Pi}_{\alpha}^0=(\bigcup_{\beta<\alpha} \mathbf{\Sigma}_{\beta}^0)_{\delta}.

Finalement pour chaque ordinal dénombrable α, on note:

\mathbf{\Delta}_{\alpha}^0 = \mathbf{\Sigma}_{\alpha}^0 \cap \mathbf{\Pi}_{\alpha}^0.

Par exemple \mathbf{\Delta}_{1}^0 est l'ensemble des parties de \quad X qui sont à la fois ouvertes et fermées. Les ensembles \mathbf{\Sigma}_{\alpha}^0, \mathbf{\Pi}_{\alpha}^0 et \mathbf{\Delta}_{\alpha}^0 sont respectivement appelés classes additives, multiplicatives et ambiguës. La famille ordonnée par inclusion formée par la totalité de ces classes (pour \alpha\in\omega_1) est appelée la hiérarchie de Borel.

Propriétés élémentaires

  • Les classes additives sont closes par unions dénombrables, et les classes multiplicatives sont closes par intersections dénombrables ;
  • Pour chaque ordinal dénombrable α, \mathbf{\Pi}_{\alpha}^0 et \mathbf{\Sigma}_{\alpha}^0sont complémentaires ;
  • Les classes de la hiérarchie de Borel sont emboitées les unes dans les autres comme indiqué sur le schéma ci-dessous, les flèches symbolisant l'inclusion :

\begin{matrix} & & \mathbf{\Sigma}^0_1 & & & & \mathbf{\Sigma}^0_2 & & \cdots \\ & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \\ \mathbf{\Delta}^0_1 & & & & \mathbf{\Delta}^0_2 & & & & \cdots \\ & \searrow & & \nearrow & & \searrow \\ & & \mathbf{\Pi}^0_1 & & & & \mathbf{\Pi}^0_2 & & \cdots \end{matrix}\begin{matrix} & & \mathbf{\Sigma}^0_\alpha & & & \cdots \\ & \nearrow & & \searrow \\ \quad \mathbf{\Delta}^0_\alpha & & & & \mathbf{\Delta}^0_{\alpha + 1} & \cdots \\ & \searrow & & \nearrow \\ & & \mathbf{\Pi}^0_\alpha & & & \cdots \end{matrix}

Exhaustion de la tribu borélienne

Si on note \mathcal{B} la tribu borélienne sur X, on peut montrer que:

\mathcal{B} = \bigcup_{1\leq \alpha < \omega_1} \mathbf{\Sigma}_{\alpha}^0 = \bigcup_{1\leq \alpha < \omega_1} \mathbf{\Pi}_{\alpha}^0 = \bigcup_{1\leq \alpha < \omega_1} \mathbf{\Delta}_{\alpha}^0 .

Voir aussi

Références

S.M. Srivastava, A course on Borel sets, Springer, 1991, p. 115-117



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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Hiérarchie de Borel de Wikipédia en français (auteurs)

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