- Hiérarchie de borel
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Hiérarchie de Borel
Définition des ensembles de Borel
Une algèbre sur un ensemble X est une collection de sous-ensembles de X vérifiant les conditions suivantes:
- Si , alors
- Toute union finie d'éléments de appartient à .
Remarquer que pour toute algèbre . Une algèbre telle que toute union dénombrable d'éléments de appartient à est appelée une σ-algèbre.
Il est facile de voir que l'intersection d'une famille non-vide de σ-algèbres sur X est une σ-algèbre. Cette constatation permet la définition suivante. Soit une famille de sous-ensembles de X. Soit l'ensemble des σ-algèbres sur X contenant . Noter que est non-vide car la σ-algèbre contient trivialement . On appelle σ-algèbre engendrée par l'intersection de tous les membres de .
Soit un espace topologique métrisable. On appelle σ-algèbre des noréliens sur X la σ-algèbre engendrée par . Elle est notée . Un membre de la σ-algèbre des boréliens est appelé un borélien ou ensemble de Borel.
Hiérarchie des boréliens
Soit une famille de sous-ensembles d'un ensemble . On note l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de :
On note également par l'ensemble des intersections dénombrables de :
On désigne finalement par l'ensemble des compléments dans des éléments de :
Soit un espace topologique . Notons de la manière suivante les ouverts et les fermés de :Puis pour chaque ordinal α, 1 < α < ω1, on définit alors les familles d'ensembles suivants par induction transfinie:
Finalement pour chaque ordinal α, , on définit:
Notons que est la famille des ensembles de qui sont à la fois ouverts et fermés pour la topologie . S'il n'y a pas d'ambiguïté, ou si un résultat est valable pour tout espace topologique , on note parfois , et au lieu de , et . Les familles , et sont appelées les classes additives, multiplicatives et ambiguës. Ces familles d'ensembles vérifient les propriétés élémentaires suivantes.
- Les classes additives sont closes par unions dénombrables, et les classes multiplicatives sont closes par intersections dénombrables.
- Pour tout ordinal α, , , ou de manière équivalente
- Pour tout ordinal α, , est une algèbre.
On montre alors que:
Notes et références
S.M. Srivastava, A course on Borel sets, Springer, 1991
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Catégorie : Théorie des ensembles
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