Hiérarchie (mathématiques)

Hiérarchie (mathématiques): On considère un ensemble $\Omega=(x_1,\dots,x_n)$ d'individus et un ensemble $H=(H_1,\dots,H_g)$ de parties de $Ω$ . H est une hiérarchie sur $Ω$ si et seulement si :

$\emptyset \in H$ .

quel que soit i, $\{x_i\}\in H$ .

$\Omega \in H$ .

quels que soient k et $\ell$ , $H_k\cap H_\ell=\emptyset$ ou $H_k\subset H_\ell$ ou $H_\ell\subset H_k$ .

Par exemple, pour un ensemble $Ω = (x 1, x 2, x 3, x 4)$ l'ensemble

$H=\left\{\{\emptyset\},\{x_1\},\{x_2\},\{x_3\},\{x_4\},\{x_1,x_2\},\{x_3,x_4\},\{x_1,x_2,x_3,x_4\}\right\}$

est une hiérarchie.

Indice sur une hiérarchie

On appelle indice sur un hiérarchie H de $Ω$ une fonction i de $H$ dans $\mathbb{R}^+$ vérifiant les propriétés :

si $H_k\subset H_\ell$ et $k\neq\ell$ , alors, $i(H_k)<i(H_\ell)$ .

quel que soit $x i$ de $Ω$ , $i ({x i}) = 0$ .

Le couple $(H, i)$ est alors appelé hiérarchie indicée.

Dans le cas de données continues, la fonction d'inertie définit un indice. En considérant l'exemple précédent et en considérant que les points $x i$ sont des points de $\mathbb{R}^2$ de coordonnées

$x_1=(1,0)\,$

$x_2=(1,0.5)\,$

$x_3=(2,2)\,$

$x_4=(2,2.2)\,$

La fonction d'inertie prend les valeurs suivantes :

$i\left(\{x_1\}\right)=0\,$

$i\left(\{x_2\}\right)=0\,$

$i\left(\{x_3\}\right)=0\,$

$i\left(\{x_4\}\right)=0\,$

$i\left(\{x_1,x_2\}\right)=1.125\,$

$i\left(\{x_3,x_4\}\right)=0.2\,$

$i\left(\{x_1,x_2,x_3,x_4\}\right)=4.5674\,$

Une telle hiérarchie peut être représentée par le dendrogramme suivant :

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Catégorie :
Théorie des ordres

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