H-groupe

H-groupe

Ne pas confondre avec la notion de Groupe d'homotopie.

En mathématiques, un h-groupe est un espace topologique pointé muni d'une multiplication (ou loi de composition interne) et d'une application dans lui-même (jouant le rôle d'inverse) satisfaisant des relations similaires à celles qui définissent les groupes mais à homotopie[1] près.

Cette structure généralise ainsi à la fois celle de groupe topologique et celle de espaces de lacets.

Sommaire

Définition

Un h-groupe est un espace topologique X pointé muni de deux applications continues : une « multiplication »

\begin{array}{rccc}\mu \colon & X \times X & \to & X \\ & (x,y) & \mapsto & x \bullet y\end{array}

et une « inverse »

\iota \colon X \to X

telles que

  • le point de base e est neutre pour la multiplication et invariant par l'inverse ;
  • la multiplication par le point de base (à gauche comme à droite) est homotope à l'identité relativement au point de base ;
  • la multiplication est associative à homotopie près relativement au point de base, c'est-à-dire que les applications suivantes sont homotopes relativement au triplet (e,e,e) :
    (x,y,z) \mapsto (x \bullet y) \bullet z\qquad \sim \qquad (x,y,z) \mapsto x \bullet (y \bullet z)  ;
  • la multiplication (à gauche comme à droite) de l'identité par l'inverse est contractile au point de base.

Exemple fondamental

Pour tout espace topologique X, son espace des lacets ΩX est un h-groupe pour la concaténation des lacets (éventuellement normalisée si l'espace source des lacets est le segment [0;1]).

Propriétés

  • L'ensemble des applications continues d'un espace topologique vers un h-groupe forme lui-même un h-groupe.
  • L'ensemble des composantes connexes (par arcs ou non) d'un h-groupe est un groupe.
  • L'ensemble des classes d'homotopie d'applications d'un espace topologique vers un h-groupe forme donc un groupe.

Voir aussi

H-cogroupe

Notes et références

  1. ↑ La lettre « h » est l'initiale de l'anglais homotopy ou de Hopf, voir par exemple (en) Glen E. Bredon, Topology and Geometry [détail des éditions], p. 441.

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article H-groupe de Wikipédia en français (auteurs)

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