Géometrie métrique

Espace métrique

En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.

L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien à trois dimensions. La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur du segment les reliant.

Définitions

On appelle (E, d) un espace métrique si E est un ensemble non vide, et d une distance sur E.
On appelle distance sur un ensemble E, une application d de $E 2$ dans $\mathbb{R}^+$ , telle que :

$\forall x,y\in E, d(x,y)=d(y,x)$ (symétrie);
$\forall x,y\in E, d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ (séparation);
$\forall x,y,z\in E, d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (inégalité triangulaire).

On appelle boule ouverte (resp. fermée) centrée en un point a de E et de rayon r (un élément de $\mathbb{R}^+$ ), l'ensemble des points x situés à une distance de a strictement plus petite que r (resp. inférieure ou égale à r) : $B(a,r)=\{x\in E\mid d(x,a)<r \}$ , $\mathcal{B}_f(a,r)=\left\{x\in E\,\mid\,d(x,a)\leq r\right\}$ .

On appelle ouvert de E, tout ensemble U tel que pour tout x de U, il existe une boule ouverte de centre x, de rayon non nul, et incluse dans U: $U \subset E\ \mathrm{ouvert\ de }\ E \Longleftrightarrow \forall x \in U,\ \exists r>0,\ B(x,r) \subset U$ . Un ouvert est une partie qui a une certaine « épaisseur » autour de ses points. La distance munit donc E d'une topologie dite « topologie induite par la distance » d. Un espace topologique est dit métrisable s'il existe une distance induisant sa topologie ; cette distance n'est jamais unique. Les notions de boule, de borné (c'est-à-dire inclus dans une boule), de suite de Cauchy, de continuité uniforme, etc. ne sont pas des notions topologiques mais métriques, susceptibles de varier selon la distance choisie. Dans cette topologie, les voisinages d'un point sont tous les sous-ensembles contenant une boule ouverte centrée sur ce point. La topologie usuelle sur la droite (des nombres réels), le plan, etc. sont des exemples de topologies définissables à l'aide d'une métrique.

Remarques

Une propriété intéressante des espaces topologiques métrisables est celle de séparation. En effet, si on choisit deux éléments distincts x et y d'un espace métrique E, leur distance notée δ est non nulle, par conséquent les boules ouvertes de centre x et y et de rayon δ/2 sont disjointes et sont des voisinages de x et y. Un espace métrique dispose d'une propriété du même ordre mais plus forte. Si A et B sont deux fermés disjoints il existe deux ouverts U contenant A et V contenant B qui sont disjoints. On dit qu'un espace métrique est normal (cf l'article Espace normal).

Une boule fermée de centre a et de rayon r est un fermé, pour la topologie induite. La notation $\scriptstyle{\overline{B}(a,r)}$ est également utilisée mais ambiguë, car B_f(a, r) est parfois différent de l'adhérence de B(a, r), au moins pour r = 0 (voir Adhérence (mathématiques) et Boule (mathématiques)).

Exemples

Une norme N induit de manière naturelle une distance d(x,y)=N(x-y).
La distance triviale (ou encore distance discrète ou métrique discrète) : sur un ensemble non vide, on décide que la distance entre deux points distincts est 1 (d(x,y) = 1 pour tout x différent de y et d(x,x) = 0). Avec une telle distance, on vérifie aisément que la topologie est alors l'ensemble des parties de $E$ , c'est-à-dire que toute partie F de E est ouverte.
Les espaces topologiques R et ]0,1[ sont homéomorphes, mais munis des distances usuelles, ils ne sont pas isomorphes en tant qu'espaces métriques ; par exemple R est complet mais ]0,1[ ne l'est pas.
Si on munit R₊ de la distance d(x,y)=|e^x- e^y|, on retrouve la topologie usuelle sur R₊ mais maintenant toutes les fonctions polynômes sont uniformément continues.
La distance aux échecs permet de connaître le nombre de coups nécessaire au jeu d'échec pour aller avec le roi d'une case x₁, y₁ à une case x₂, y₂ et se définit par $D_{Echec} = \max \left ( \left | \left ( x_2 - x_1 \right) \right | , \left | \left ( y_2 - y_1 \right ) \right | \right )$
La distance de Manhattan : dans le plan $\mathbb R^2:d(a,b)=|x_b-x_a|+|y_b-y_a|$ .c'est bien sûr la distance induite par la norme 1.

Équivalence d'espaces métriques

En comparant deux espaces métriques il est possible de distinguer différents degrés d'équivalence. Pour préserver a minima la structure topologique induite par la métrique, une fonction continue entre les deux est requise.

Soit deux espaces métriques (M₁, d₁) et (M₂, d₂). M₁ et M₂ sont appelés

topologiquement isomorphes (ou homéomorphes) s'il existe un homéomorphisme entre eux.

uniformément isomorphes s'il existe un isomorphisme uniforme entre eux.

isométriquement isomorphes s'il existe un isométrie bijective entre eux. Dans ce cas les deux espaces sont essentiellement identiques. Une isométrie est une fonction f : M₁ → M₂ qui préserve les distances : d₂(f(x), f(y)) = d₁(x, y) pour tout x, y dans M₁. Les isométries sont forcément injectives.

similaire s'il existe une constante positive k > 0 et une fonction bijective f, appelée similarité telle que f : M₁ → M₂ et d₂(f(x), f(y)) = k d₁(x, y) pour tout x, y dans M₁.

similaire (du second type) s'il existe une fonction bijective f, appelée similarité telle que f : M₁ → M₂ et d₂(f(x), f(y)) = d₂(f(u), f(v)) si et seulement si d₁(x, y) = d₁(u, v) pour tout x, y,u, v dans M₁.

Dans le cas d'un espace euclidien avec la métrique usuelle, les deux notions de similarité sont équivalentes.

Voir aussi

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