Formules trigonométriques en kπ/7

Formules trigonométriques en kπ/7: Formules trigonométriques en kπ/7

Cet article répertorie les formules trigonométriques en kπ/7.

Sommaire

1 valeur approchée

2 Quelques solutions d'équations

3 Formules homogènes

4 Formules de linéarisation

5 Formules déductives

6 Propriétés remarquables

valeur approchée

Nous avons avec une assez bonne approximation:

$cos(\frac{\pi}{7}) \simeq 0,9009688... \simeq \frac{9}{10} ~$

Cette valeur peut nous permettre de construire à la régle et au compas un angle ayant une mesure proche de $\frac{\pi}{7}$ .

On trace un segment [AB] et un point P tel que :

$AP = \frac{9}{10}AB ~$

Soit C le point d'interception entre le cercle de centre A et de rayon AB avec la perpendiculaire à (AB) passant par P.

Alors l'angle :

$\widehat{BAC} ~$

a approximativement une mesure de $\frac{\pi}{7}$ .

Quelques solutions d'équations

L'équation :

$X^3 - X^2 -2X +1 = 0 ~$

a pour racines :

$\{2\cos(\frac{\pi}{7}), -2\cos(\frac{2\pi}{7}), 2\cos(\frac{3\pi}{7})\} ~$

L'équation :

$X^3 + X^2 -2X - 1 = 0 ~$

a pour racines :

$\{-2\cos(\frac{\pi}{7}),2\cos(\frac{2\pi}{7}),-2\cos(\frac{3\pi}{7})\} ~$

L'équation :

$X^3 + \sqrt{7}X^2 - \sqrt{7} = 0 ~$

a pour racines :

$\{2\sin(\frac{\pi}{7}),-2\sin(\frac{2\pi}{7}),-2\sin(\frac{3\pi}{7})\} ~$

L'équation :

$X^3 - \sqrt{7}X^2 + \sqrt{7} = 0 ~$

a pour racines :

$\{-2\sin(\frac{\pi}{7}),2\sin(\frac{2\pi}{7}),2\sin(\frac{3\pi}{7})\} ~$

L'équation :

$X^3 + \sqrt{7}X^2 - 7X + \sqrt{7} = 0 ~$

a pour racines :

$\{\tan(\frac{\pi}{7}),\tan(\frac{2\pi}{7}),-\tan(\frac{3\pi}{7})\} ~$

L'équation :

$X^3 - \sqrt{7}X^2 - 7X - \sqrt{7} = 0 ~$

a pour racines :

$\{-\tan(\frac{\pi}{7}),-\tan(\frac{2\pi}{7}),\tan(\frac{3\pi}{7})\} ~$

Formules homogènes

$\cos(\frac{\pi}{7}) - \cos(\frac{2\pi}{7}) + \cos(\frac{3\pi}{7}) = \frac{1}{2}~$

$\cos(\frac{\pi}{7}) . \cos(\frac{2\pi}{7}) . \cos(\frac{3\pi}{7}) = -\frac{1}{8}~$

$\cos(\frac{\pi}{7}).\cos(\frac{2\pi}{7}) - \cos(\frac{\pi}{7}).\cos(\frac{3\pi}{7}) + \cos(\frac{2\pi}{7}).\cos(\frac{3\pi}{7}) = -\frac{1}{2}~$

$\sin(\frac{\pi}{7}) - \sin(\frac{2\pi}{7}) - \sin(\frac{3\pi}{7}) = -\frac{\sqrt{7}}{2}~$

$\sin(\frac{\pi}{7}) . \sin(\frac{2\pi}{7}) . \sin(\frac{3\pi}{7}) = \frac{\sqrt{7}}{8}~$

$\sin(\frac{\pi}{7}).\sin(\frac{2\pi}{7}) + \sin(\frac{\pi}{7}).\sin(\frac{3\pi}{7}) - \sin(\frac{2\pi}{7}).\sin(\frac{3\pi}{7}) = 0 ~$

$\tan(\frac{\pi}{7}) + \tan(\frac{2\pi}{7}) - \tan(\frac{3\pi}{7}) = -\sqrt{7}~$

$\tan(\frac{\pi}{7}) . \tan(\frac{2\pi}{7}) . \tan(\frac{3\pi}{7}) = \sqrt{7}~$

$\tan(\frac{\pi}{7}).\tan(\frac{2\pi}{7}) - \tan(\frac{\pi}{7}).\tan(\frac{3\pi}{7}) - \tan(\frac{2\pi}{7}).\tan(\frac{3\pi}{7}) = -7~$

Formules de linéarisation

$\cos(\frac{\pi}{7})\cos(\frac{2\pi}{7}) = \frac{1}{2}\cos(\frac{2\pi}{7}) + \frac{1}{4} ~$

$\cos(\frac{\pi}{7})\cos(\frac{3\pi}{7}) = \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{7}) - \frac{1}{4} ~$

$\cos(\frac{2\pi}{7})\cos(\frac{3\pi}{7}) = -\frac{1}{2}\cos(\frac{3\pi}{7}) + \frac{1}{4} ~$

$\cos^2(\frac{\pi}{7}) =\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(\frac{2\pi}{7}) ~$

$\cos^2(\frac{2\pi}{7}) =\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(\frac{3\pi}{7}) ~$

$\cos^2(\frac{3\pi}{7}) =\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{7}) ~$

Formules déductives

Pour d'autres valeurs de k dans kπ/7, on peut se ramener aux formules précédentes en tenant compte du fait que :

$\cos(\frac{4\pi}{7}) = -\cos(\frac{3\pi}{7}) ~$

$\cos(\frac{5\pi}{7}) = -\cos(\frac{2\pi}{7}) ~$

$\cos(\frac{6\pi}{7}) = -\cos(\frac{\pi}{7}) ~$

$\sin(\frac{4\pi}{7}) = \sin(\frac{3\pi}{7}) ~$

$\sin(\frac{5\pi}{7}) = \sin(\frac{2\pi}{7}) ~$

$\sin(\frac{6\pi}{7}) = \sin(\frac{\pi}{7}) ~$

$\tan(\frac{4\pi}{7}) = -\tan(\frac{3\pi}{7}) ~$

$\tan(\frac{5\pi}{7}) = -\tan(\frac{2\pi}{7}) ~$

$\tan(\frac{6\pi}{7}) = -\tan(\frac{\pi}{7}) ~$

Propriétés remarquables

Nous avons :

$\forall k \in \mathbb{Z}, \quad2^k\left(\cos^k(\frac{\pi}{7}) + \cos^k(\frac{3\pi}{7}) + \cos^k(\frac{5\pi}{7}) \right) \in \mathbb{N}^* ~$

Pour les premières valeurs de k positive, on obtient :

$2\left(\cos(\frac{\pi}{7}) + \cos(\frac{3\pi}{7}) + \cos(\frac{5\pi}{7})\right) = 1 ~$

$2^2\left(\cos^2(\frac{\pi}{7}) + \cos^2(\frac{3\pi}{7}) + \cos^2(\frac{5\pi}{7})\right) = 5 ~$

$2^3\left(\cos^3(\frac{\pi}{7}) + \cos^3(\frac{3\pi}{7}) + \cos^3(\frac{5\pi}{7})\right) = 4 ~$

$2^4\left(\cos^4(\frac{\pi}{7}) + \cos^4(\frac{3\pi}{7}) + \cos^4(\frac{5\pi}{7})\right) = 13 ~$

$2^5\left(\cos^5(\frac{\pi}{7}) + \cos^5(\frac{3\pi}{7}) + \cos^5(\frac{5\pi}{7})\right) = 16 ~$

$2^6\left(\cos^6(\frac{\pi}{7}) + \cos^6(\frac{3\pi}{7}) + \cos^6(\frac{5\pi}{7})\right) = 38 ~$

$2^7\left(\cos^7(\frac{\pi}{7}) + \cos^7(\frac{3\pi}{7}) + \cos^7(\frac{5\pi}{7})\right) = 57 ~$

etc.

Pour les premières valeurs de k négative, on obtient :

$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\cos(\frac{\pi}{7})} + \frac{1}{\cos(\frac{3\pi}{7})} + \frac{1}{\cos(\frac{5\pi}{7})}\right) = 2 ~$

$\frac{1}{2^2}\left(\frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{7})} + \frac{1}{\cos^2(\frac{3\pi}{7})} + \frac{1}{\cos^2(\frac{5\pi}{7})}\right) = 6 ~$

$\frac{1}{2^3}\left(\frac{1}{\cos^3(\frac{\pi}{7})} + \frac{1}{\cos^3(\frac{3\pi}{7})} + \frac{1}{\cos^3(\frac{5\pi}{7})}\right) = 11 ~$

$\frac{1}{2^4}\left(\frac{1}{\cos^4(\frac{\pi}{7})} + \frac{1}{\cos^4(\frac{3\pi}{7})} + \frac{1}{\cos^4(\frac{5\pi}{7})}\right) = 26 ~$

$\frac{1}{2^5}\left(\frac{1}{\cos^5(\frac{\pi}{7})} + \frac{1}{\cos^5(\frac{3\pi}{7})} + \frac{1}{\cos^5(\frac{5\pi}{7})}\right) = 57 ~$

etc.

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Catégorie : Trigonométrie

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