Formule des probabilités totales

Formule des probabilités totales

Énoncé

Formule des probabilités totales — On se donne un espace probabilisé \scriptstyle\ (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}). Si \scriptstyle\ (B_i)_{\,i \in I}\ est un système exhaustif (fini ou dénombrable) d'évènements, et si quel que soit \scriptstyle\ i \in I, \scriptstyle\ \mathbb{P}(B_i) \neq 0, alors, pour tout évènement \scriptstyle\ A,

\mathbb{P}(A) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i).
Remarques  :
  • Lorsque \scriptstyle\ \mathbb{P}(B_i) = 0,\ définir \scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\ pose problème : \scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\ serait la probabilité conditionnelle de \scriptstyle\ A\ sachant un évènement qui ne se produit jamais, à savoir \scriptstyle\ B_i. La définition usuelle de \scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\ conduirait alors à diviser par 0 ... Une convention qui est rarement nocive consiste, lorsque \scriptstyle\ \mathbb{P}(B_i) = 0,\ à attribuer à \scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\ une valeur arbitraire entre 0 et 1 : on n'a jamais besoin de pronostiquer la vraisemblance de l'évènement \scriptstyle\ A\ sachant \scriptstyle\ B_i,\ puisque \scriptstyle\ B_i\ ne se produit jamais, donc attribuer à \scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\ une valeur arbitraire ne provoquera aucune erreur. Par ailleurs, dans la formule des probabilités totales, attribuer à \scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\ une valeur arbitraire entre 0 et 1 n'a aucune importance, puisqu'on multiplie ensuite cette valeur par \scriptstyle\ 0=\mathbb{P}(B_i).\ En résumé, avec cette convention, l'hypothèse \scriptstyle\ \mathbb{P}(B_i) \neq 0\ est superflue pour la formule des probabilités totales.
  • L'hypothèse selon laquelle \scriptstyle\ (B_i)_{\,i \in I}\ est un système exhaustif peut être affaiblie : \scriptstyle\ \cup_{\,i \in I}B_i=\Omega\ peut être remplacée par \scriptstyle\ \cup_{\,i \in I}B_i\supset A.\

Une variante

Théorème — On se donne un espace probabilisé \scriptstyle\ (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) et un évènement A. Si \scriptstyle\ (B_i)_{\,i \in I}\ est une partition (finie ou dénombrable) de l'évènement B,

\mathbb{P}(A|B) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i|B).
Démonstration
\begin{align} \mathbb{P}(A\cap B) &= \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A \cap B_i) \\ &= \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i) \\ &= \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i|B)\mathbb{P}(B), \end{align}

car \scriptstyle\ B_i\cap B=B_i.\ CQFD

Corollaire — Si \scriptstyle\ (B_i)_{\,i \in I}\ est une partition (finie ou dénombrable) de l'évènement B, et si \scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\ ne dépend pas de i, alors la valeur commune des probabilités conditionnelles \scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\ est \scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B).\

Démonstration

Notons x la valeur commune des probabilités conditionnelles \scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i).\ Alors

\begin{align} \mathbb{P}(A|B) &= \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i|B) \\ &= x\ \sum_{i \in I} \mathbb{P}(B_i|B) \\ &= x. \end{align}

CQFD

Ce corollaire permet de ramener le calcul de \scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B)\ au calcul des \scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i),\ parfois plus facile, car l'évènement Bi, étant plus petit que l'évènement B, fournit une information plus précise, et facilite ainsi le pronostic (pronostic = calcul de la probabilité conditionnelle). Le cas se présente souvent lorsqu'on étudie 2 chaines de Markov dont l'une est image de l'autre. La démonstration de la propriété de Markov pour les processus de Galton-Watson est un exemple parmi beaucoup d'autres.

En particulier, le Corollaire est fréquemment utilisé dans le cas où B=Ω, et permet alors de ramener le calcul de \scriptstyle\ \mathbb{P}(A)\ au calcul des \scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i).\

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