Formule des probabilités totales
- Formule des probabilités totales
-
Énoncé
Remarques :
- Lorsque
définir
pose problème :
serait la probabilité conditionnelle de
sachant un évènement qui ne se produit jamais, à savoir
La définition usuelle de
conduirait alors à diviser par 0 ... Une convention qui est rarement nocive consiste, lorsque
à attribuer à
une valeur arbitraire entre 0 et 1 : on n'a jamais besoin de pronostiquer la vraisemblance de l'évènement
sachant
puisque
ne se produit jamais, donc attribuer à
une valeur arbitraire ne provoquera aucune erreur. Par ailleurs, dans la formule des probabilités totales, attribuer à
une valeur arbitraire entre 0 et 1 n'a aucune importance, puisqu'on multiplie ensuite cette valeur par
En résumé, avec cette convention, l'hypothèse
est superflue pour la formule des probabilités totales.
- L'hypothèse selon laquelle
est un système exhaustif peut être affaiblie :
peut être remplacée par 
Une variante
Démonstration
car
CQFD
Démonstration
Notons x la valeur commune des probabilités conditionnelles
Alors
CQFD
Ce corollaire permet de ramener le calcul de
au calcul des
parfois plus facile, car l'évènement Bi, étant plus petit que l'évènement B, fournit une information plus précise, et facilite ainsi le pronostic (pronostic = calcul de la probabilité conditionnelle). Le cas se présente souvent lorsqu'on étudie 2 chaines de Markov dont l'une est image de l'autre. La démonstration de la propriété de Markov pour les processus de Galton-Watson est un exemple parmi beaucoup d'autres.
En particulier, le Corollaire est fréquemment utilisé dans le cas où B=Ω, et permet alors de ramener le calcul de
au calcul des 
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Formule des probabilités totales de Wikipédia en français (auteurs)
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