Théorème des probabilités totales

Théorème des probabilités totales

Formule des probabilités totales

On se donne un espace probabilisé \scriptstyle\ (\Omega, \mathcal{A}, P). Si \scriptstyle\ (B_i)_{\,i \in I}\ est un système exhaustif (fini ou dénombrable) d'évènements, et si quel que soit \scriptstyle\ i \in I, \scriptstyle\ P(B_i) \neq 0, alors, pour tout évènement \scriptstyle\ A,

P(A) = \sum_{i \in I} P(A | B_i)P(B_i).
Remarque  :

Le problème avec \scriptstyle\ P(B_i) = 0\ est de définir \scriptstyle\ P(A | B_i)\  : ce serait la probabilité conditionnelle de \scriptstyle\ A\ sachant un évènement qui ne se produit jamais, à savoir \scriptstyle\ B_i. La définition usuelle de \scriptstyle\ P(A | B_i)\ conduirait alors à diviser par 0 ... Une convention qui est rarement nocive consiste à attribuer à \scriptstyle\ P(A | B_i)\ une valeur arbitraire entre 0 et 1 : on n'a jamais besoin de pronostiquer la vraisemblance de l'évènement \scriptstyle\ A\ sachant \scriptstyle\ B_i,\ puisque \scriptstyle\ B_i\ ne se produit jamais, donc attribuer à \scriptstyle\ P(A | B_i)\ une valeur arbitraire ne provoquera aucune erreur. Par ailleurs, dans la formule des probabilités totales, attribuer à \scriptstyle\ P(A | B_i)\ une valeur arbitraire entre 0 et 1 n'a aucune importance, puisqu'on multiplie ensuite cette valeur par \scriptstyle\ 0=P(B_i).\ En résumé, avec cette convention, l'hypothèse \scriptstyle\ P(B_i) \neq 0\ est superflue pour la formule des probabilités totales.

Voir aussi

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques
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