Formule de Machin

La formule de Machin fut découverte en 1706 par John Machin et relie le nombre $π$ à la fonction arctangente :

${\pi \over 4} = 4 \arctan {1 \over 5} - \arctan {1 \over 239}$

Cette formule permet de calculer une approximation du nombre $π$ grâce au développement en série entière de la fonction arctangente. John Machin l'utilisa pour obtenir les cent premières décimales de $π$ .

Démonstration

Il est possible de démontrer la formule de Machin, en utilisant la relation trigonométrique élémentaire suivante :

$\tan (a + b) = {{\tan a + \tan b} \over {1- \tan a \times \tan b}}$

En posant $\theta = \arctan {1 \over 5}$ , on en déduit alors successivement :

$\tan 2\theta = {{2 \over 5} \over {1 - {1 \over 25}}} = {{5} \over {12}}$

$\tan 4\theta = {{ 5 \over 6 } \over {1- {25 \over 144}}} = {120 \over 119}$

$\tan (4\theta - { \pi \over 4}) = {{{120 \over 119} - 1} \over {1+ {120 \over 119} \times 1}} ={1 \over 239}$

On doit ensuite montrer que $\arctan(\tan(4\theta - { \pi \over 4}))=4\theta - { \pi \over 4}$ en effet tan(arctan(x))=x mais l'on n'a pas nécessairement arctan(tan(x))=x.

Puisque $\theta \in ]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$ , que tan est une fonction strictement croissante sur cet intervalle et ${1\over 5}=\tan(\theta)<\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)={1\over \sqrt{3}}$ on en déduit: $\theta \in ]0;\frac{\pi}{6}[$ , d'où: $4\theta - { \pi \over 4} \in ]-\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{12}[$ . Cet intervalle est compris dans l'intervalle $]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$ et on a donc : $\arctan(\tan(4\theta - { \pi \over 4}))=4\theta - { \pi \over 4}$ Ceci permet de passer à l'arctan et on a:

${\pi \over 4} = 4\times\arctan{1 \over 5} - \arctan {1 \over 239}$

Une façon moderne de présenter le résultat est de le relier aux propriétés des nombres complexes. La formule de Machin découle alors de l'identité suivante entre nombres complexes :

${(5+i)^4 \over(239+i)}=2\times(1+i)$

En effet, on peut montrer l'équivalence suivante :

$m\arctan{1 \over x} + \arctan {1 \over y} \equiv {\pi \over 4} [\pi] \Leftrightarrow (x+i)^m(y+i)e^{-i{\pi \over 4}} \in \mathbb{R}$

Ceci permet de conclure en remarquant que l'on peut encore remplacer $(y + i)$ par $1 \over (-y+i)$ et en vérifiant l'encadrement comme plus haut.

Utilisation

Le développement de $\arctan\,$ en série entière fournit la méthode de calcul suivante:

${\pi \over 4}= 4*\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n {{\left( \frac{1}{5} \right)}^{2n+1}} \over {2n+1}} - \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n {{\left( \frac{1}{239} \right)}^{2n+1}} \over {2n+1}}$

Formules du type de Machin

D'autres formules du même type ont été découvertes, et on appelle « formules du type de Machin » les formules de la forme :

$\frac{\pi}{4} = \sum_{n}^N a_n \arctan\frac{1}{b_n}$

où les $a n$ et les $b n$ sont des entiers.

Il existe trois autres formules du type de Machin avec deux termes seulement. Elles ont été découvertes respectivement par Euler, Hermann et Hutton :

$\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3}$ ,

$\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{2} - \arctan\frac{1}{7}$ ,

$\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{7}$ .

Elles découlent respectivement des identités suivantes entre nombres complexes :

${(2+i)\,(3+i)}=5\,(1+i)$

${(2+i)^2 \over(7+i)}={1 \over 2}\,(1+i)$

${(3+i)^2\,(7+i)}=50\,(1+i)$

Il est en fait possible de construire une infinité de formules de ce type en utilisant plus de termes, mais seules les formules les plus efficaces historiquement pour calculer le nombre $π$ sont devenues célèbres.

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{18} + 8 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239}$

Carl Friedrich Gauss

$\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}$

Carl Stormer (1896).

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}$

Kikuo Takano (en) (1982).

La recherche de formules de Machin efficaces se fait désormais par une recherche systématique à l'aide d'ordinateurs. Les formules les plus efficaces du type de Machin actuellement connues pour calculer $π$ sont :

$\begin{align} \frac{\pi}{4} =& 183\arctan\frac{1}{239} + 32\arctan\frac{1}{1023} - 68\arctan\frac{1}{5832} + 12\arctan\frac{1}{110443}\\ & - 12\arctan\frac{1}{4841182} - 100\arctan\frac{1}{6826318}\\ \end{align}$

黃見利 (Hwang Chien-Lih) (1997).

$\begin{align} \frac{\pi}{4} =& 183\arctan\frac{1}{239} + 32\arctan\frac{1}{1023} - 68\arctan\frac{1}{5832} + 12\arctan\frac{1}{113021}\\ & - 100\arctan\frac{1}{6826318} - 12\arctan\frac{1}{33366019650} + 12\arctan\frac{1}{43599522992503626068}\\ \end{align}$

黃見利 (Hwang Chien-Lih) (2003).

Il existe d'autres formules qui convergent plus rapidement vers le nombre $π$ , comme la formule de Ramanujan, mais elles ne sont pas du type de Machin.

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