Formule d'inversion de Möbius

Formule d'inversion de Möbius

La formule d’inversion de Möbius classique a été introduite dans la théorie des nombres au cours du XIXe siècle par August Ferdinand Möbius. Elle a été généralisée plus tard à d’autres « formules d’inversion de Möbius ».

Énoncé

La version classique déclare que si f et g sont des fonctions arithmétiques vérifiant

\forall n\in \mathbb{N}^* \quad g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)

alors

\forall n\in \mathbb{N}^* \quad f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)g(n/d)

où μ est la fonction de Möbius et les sommes portent sur tous les diviseurs positifs d de n. La formule reste valable si f et g sont des fonctions définies sur l’ensemble des entiers naturels non nuls à valeurs dans un certain groupe abélien.

En utilisant la convolution de Dirichlet, la formule d’inversion peut également s’écrire :

\mu\star(f\star 1)=f

où 1 est la fonction constante prenant la valeur 1.

Cette formule pour f quelconque peut se déduire du cas particulier où f est la fonction ε définie par ε(1)=1 et pour tout n≠1, ε(n)=0 (ε est l'élément neutre pour la convolution) :

\mu\star 1=\varepsilon.

Généralisations

La formule d’inversion de Möbius donnée ci-dessus est la formule d’inversion originale de Möbius. Lorsque l’ensemble partiellement ordonné des nombres entiers muni de la relation de divisibilité est remplacé par d’autres ensembles partiellement ordonnés localement finis, nous obtenons d’autres formules d’inversion de Möbius comprenant entre autres le principe d'inclusion-exclusion de Moivre ; pour un aperçu, voir l'article Algèbre d'incidence (en).

Lorsque l'ordre utilisé est l'ordre usuel sur les entiers naturels non nuls, on obtient la formule suivante, utile en combinatoire :

si F et G sont des fonctions définies sur l’intervalle [1, +∞[ de \mathbb{R} à valeurs complexes vérifiant

\forall x\ge 1 \quad G(x) = \sum_{1 \le n \le x}F(x/n)

alors

\forall x\ge 1 \quad F(x) = \sum_{1 \le n \le x}\mu(n)G(x/n).

Applications

Des exemples sont donnés dans l'article Fonction multiplicative.

La formule d'inversion peut aussi être utilisée pour dénombrer les irréductibles de \mathbf{F}_{p}[X] de degré donné. Soit p un nombre premier et \mathbf{F}_{p} le corps fini à p éléments. Par des arguments élémentaires on peut démontrer que, pour tout entier naturel non nul n, X^{p^{n}}-X est le produit des polynômes irréductibles unitaires de \mathbf{F}_{p}[X] dont le degré divise n; en notant \nu(d)\, le nombre d'irréductibles unitaires de degré d on a donc, en prenant les degrés: \sum_{d|n}{d\nu(d)}=p^{n}\,. La formule d'inversion de Möbius permet alors d'obtenir, avec f(n)=n\nu(n)\, et g(n)=p^{n}\, : \nu(n)=\frac{1}{n}\sum_{d|n}{\mu(n/d)p^{d}}\,. On voit en particulier que \nu(n)\, n'est jamais nul.



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