Formulaire calcul différentiel extérieur

Formulaire calcul différentiel extérieur

Calcul différentiel extérieur

En géométrie différentielle, le calcul différentiel extérieur désigne le calcul portant sur les formes différentielles sur les variétés différentielles. Cet article regroupe un ensemble de formules, portant sur le produit intérieur, le produit extérieur, la dérivée de Lie, ... Les définitions de ces opérations sont données dans les articles correspondants et sont celles les plus usitées ; mais des modifications dans les définitions, parfois faites par certains auteurs, impliquent des changements de signe dans les formules suivantes.

Notations : On travaille sur une variété différentielle (sans la nommer). X et Y sont des champs de vecteurs, α et β sont des formes différentielles pures, le degré de α est noté k. \varphi et ψ sont des difféomorphismes locaux, Φ et Ψ des difféomorphismes et f est une fonction réelle.

Sommaire

Tiré en arrière et poussé en avant

  1. (\Phi\circ \Psi)_*X=\Phi_*\Psi_*X
  2. (\varphi\circ \psi)^*\alpha=\psi^*\varphi^*X
  3. \varphi^*(\alpha\wedge\beta)=\varphi^*\alpha\wedge\varphi^*\beta
  4. Φ * [X,Y] = [Φ * X,Φ * Y]
  5. \varphi^*d\alpha=d\varphi^*\alpha
  6. \varphi^*(\mathcal{L}_X\alpha)=\mathcal{L}_{\varphi^*X}\varphi^*\alpha
  7. \varphi^*(i_X\alpha)=i_{\varphi^*X}\varphi^*\alpha

Lien avec le produit extérieur

  1. d(\alpha\wedge\beta) =d\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge d\beta
  2. i_X(\alpha\wedge\beta) =i_X\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge i_X\beta
  3. \mathcal{L}_X(\alpha\wedge\beta) =\mathcal{L}_X\alpha\wedge\beta+\alpha\wedge \mathcal{L}_X\beta

Multiplication par une fonction

  1. ifXα = fiXα = iXfα
  2. \mathcal{L}_{fX}\alpha=f\mathcal{L}_X \alpha+df\wedge i_{X}\alpha
  3. [fX,Y] = f[X,Y] − df(Y)X
  4. [X,fY] = f[X,Y] + df(X)Y

Lien entre dérivée de Lie, crochets de Lie, produits intérieurs et dérivée extérieure

  1. \mathcal{L}_{[X,Y]}\alpha=\mathcal{L}_X \mathcal{L}_Y\alpha- \mathcal{L}_Y \mathcal{L}_X\alpha
  2. i_{[X,Y]}\alpha=\mathcal{L}_X i_Y\alpha- i_Y \mathcal{L}_X\alpha
  3. \mathcal{L}_X d\alpha=d\mathcal{L}_X\alpha
  4. \mathcal{L}_X i_X\alpha=i_X\mathcal{L}_X\alpha
  5. \mathcal{L}_X\alpha=di_X\alpha +i_Xd\alpha
Ce document provient de « Calcul diff%C3%A9rentiel ext%C3%A9rieur ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Formulaire calcul différentiel extérieur de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Relativite generale — Relativité générale Pour les articles homonymes, voir relativité …   Wikipédia en Français

  • Relativité Générale — Pour les articles homonymes, voir relativité …   Wikipédia en Français

  • Théorie de la Gravitation d'Einstein — Relativité générale Pour les articles homonymes, voir relativité …   Wikipédia en Français

  • Théorie de la relativité générale — Relativité générale Pour les articles homonymes, voir relativité …   Wikipédia en Français

  • Le Temps En Physique — Temps (physique) Pour les articles homonymes, voir Temps (homonymie). Le temps (du latin tempus) est une notion fondamentale de la Nature dans son sens de temps qui passe. « Les physiciens, écrit Étienne Klein, n essaient pas de résoudre… …   Wikipédia en Français

  • Le temps en physique — Temps (physique) Pour les articles homonymes, voir Temps (homonymie). Le temps (du latin tempus) est une notion fondamentale de la Nature dans son sens de temps qui passe. « Les physiciens, écrit Étienne Klein, n essaient pas de résoudre… …   Wikipédia en Français

  • Temps de la physique — Temps (physique) Pour les articles homonymes, voir Temps (homonymie). Le temps (du latin tempus) est une notion fondamentale de la Nature dans son sens de temps qui passe. « Les physiciens, écrit Étienne Klein, n essaient pas de résoudre… …   Wikipédia en Français

  • Temps en physique — Temps (physique) Pour les articles homonymes, voir Temps (homonymie). Le temps (du latin tempus) est une notion fondamentale de la Nature dans son sens de temps qui passe. « Les physiciens, écrit Étienne Klein, n essaient pas de résoudre… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”