Formulaire calcul différentiel extérieur

Formulaire calcul différentiel extérieur

Calcul différentiel extérieur

En géométrie différentielle, le calcul différentiel extérieur désigne le calcul portant sur les formes différentielles sur les variétés différentielles. Cet article regroupe un ensemble de formules, portant sur le produit intérieur, le produit extérieur, la dérivée de Lie, ... Les définitions de ces opérations sont données dans les articles correspondants et sont celles les plus usitées ; mais des modifications dans les définitions, parfois faites par certains auteurs, impliquent des changements de signe dans les formules suivantes.

Notations : On travaille sur une variété différentielle (sans la nommer). X et Y sont des champs de vecteurs, α et β sont des formes différentielles pures, le degré de α est noté k. \varphi et ψ sont des difféomorphismes locaux, Φ et Ψ des difféomorphismes et f est une fonction réelle.

Sommaire

Tiré en arrière et poussé en avant

  1. (\Phi\circ \Psi)_*X=\Phi_*\Psi_*X
  2. (\varphi\circ \psi)^*\alpha=\psi^*\varphi^*X
  3. \varphi^*(\alpha\wedge\beta)=\varphi^*\alpha\wedge\varphi^*\beta
  4. Φ * [X,Y] = [Φ * X,Φ * Y]
  5. \varphi^*d\alpha=d\varphi^*\alpha
  6. \varphi^*(\mathcal{L}_X\alpha)=\mathcal{L}_{\varphi^*X}\varphi^*\alpha
  7. \varphi^*(i_X\alpha)=i_{\varphi^*X}\varphi^*\alpha

Lien avec le produit extérieur

  1. d(\alpha\wedge\beta) =d\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge d\beta
  2. i_X(\alpha\wedge\beta) =i_X\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge i_X\beta
  3. \mathcal{L}_X(\alpha\wedge\beta) =\mathcal{L}_X\alpha\wedge\beta+\alpha\wedge \mathcal{L}_X\beta

Multiplication par une fonction

  1. ifXα = fiXα = iXfα
  2. \mathcal{L}_{fX}\alpha=f\mathcal{L}_X \alpha+df\wedge i_{X}\alpha
  3. [fX,Y] = f[X,Y] − df(Y)X
  4. [X,fY] = f[X,Y] + df(X)Y

Lien entre dérivée de Lie, crochets de Lie, produits intérieurs et dérivée extérieure

  1. \mathcal{L}_{[X,Y]}\alpha=\mathcal{L}_X \mathcal{L}_Y\alpha- \mathcal{L}_Y \mathcal{L}_X\alpha
  2. i_{[X,Y]}\alpha=\mathcal{L}_X i_Y\alpha- i_Y \mathcal{L}_X\alpha
  3. \mathcal{L}_X d\alpha=d\mathcal{L}_X\alpha
  4. \mathcal{L}_X i_X\alpha=i_X\mathcal{L}_X\alpha
  5. \mathcal{L}_X\alpha=di_X\alpha +i_Xd\alpha
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