Fonction presque periodique

Fonction presque periodique

Fonction presque périodique

En mathématiques, une fonction presque périodique (au sens de Harald Bohr) est une application dont les propriétés ressemblent à celles d'une fonction périodique.

Sommaire

Définition

Soit f:\R \longrightarrow \R une fonction et soit \varepsilon>0. Un réel non nul T est appelé une \varepsilon-presque période de f si et seulement si :

\sup_{t \in \mathbb{R}} |f(t + T) - f(t)| \leq \varepsilon

On note E(f,\varepsilon) l'ensemble des \varepsilon-presque périodes de f. La fonction f est dite presque périodique si l'ensemble E(f,\varepsilon) est bien réparti pour tout \varepsilon>0, c'est-à-dire que pour tout \varepsilon>0, il existe un réel \ell>0, tel que tout intervalle de longueur \ell a une intersection non nulle avec E(f,\varepsilon).

Par exemple, la fonction \R \longrightarrow \R,\ t \mapsto \sin t + \sin \sqrt{2}t est presque périodique (bien qu'elle ne soit pas périodique).

Propriétés

  • Si f et g sont deux fonctions presque périodiques, alors les fonctions f + g et fg le sont aussi (contrairement aux apparences, ce résultat n'est pas trivial).
  • Une fonction périodique et continue est presque périodique.
  • Toute fonction presque périodique est bornée.
  • Toute fonction presque périodique est uniformément continue.
  • Si f est une fonction presque périodique et F est une fonction uniformément continue, alors F \circ f est une fonction presque périodique. Ce résultat se généralise à plusieurs variables à condition que F soit uniformément continue en chaque variable.
  • Si une suite de fonctions presque périodiques converge uniformément vers une fonction f, alors f est presque périodique.
  • Théorème de Stone-Weierstrass pour les fonctions presque périodiques : l'ensemble des fonctions presque périodiques est l'adhérence, dans l'espace des fonctions continues bornées de \mathbb{C}, de l'ensemble S = \{f, \exists (a_1, a_2, \dots, a_n) \in \mathbb{C}^n, \exists (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n, \forall t \in \mathbb{R}, f(t) = a_1e^{i\lambda_1 t} + \cdots + a_ne^{i\lambda_nt}\}.

Il existe une théorie plus complète donnée par Besicovitch et diverses généralisations.

Les grands théorèmes

  • Le premier grand résultat de la théorie est que toute fonction presque périodique admet une valeur moyenne
M(f)=\lim_{T \rightarrow \infty}{\frac{1}{T}\int_0^T{f(u)du}} < \infty,

résultat dont on déduit le second résultat de la théorie, et qui concerne la représentation en séries de Fourier généralisées

« Toute fonction f presque périodique s'écrit
f(t)= \sum_{n=1}^\infty{a_n e^{i\lambda_n t}}
 »

formule dans laquelle λn est une suite de nombres réels jouant le rôle de fréquence de Fourier, les an étant les coefficients de Fourier de la série.

  • Puis on démontre que
« toute fonction presque périodique peut être approchée uniformément par un polynôme trigonométrique. »

et l'on a une inégalité du genre inégalité de Bessel :

\sum_{n=1}^\infty{|a_n|^2} \le M(f^2).
  • Le point central est cependant le théorème de Kronecker
« Soient (ai) une suite finie de n nombres réels linéairement indépendants et (bi) une autre suite finie de n réels quelconques. Et un entier q. Il existe n entiers xi et un nombre t tels que chacune des n inéquations suivantes soient satisfaites |ta_i-b_i-x_i| \le \frac{1}{q}. »

qui donne tout à la fois un moyen numérique pour trouver les presque-périodes et un moyen théorique pour l'existence de l'intervalle d'inclusion.

On remarquera que ce théorème est très proche d'un théorème de Dirichlet qui porte différents noms amusants, principe des tiroirs, des trous de pigeons, des chaussettes... :

Principe des tiroirs :

« Soient (ai) une suite finie de n nombres réels quelconques, un entier q et un nombre t0, il existe un nombre t dans l'intervalle [t0,t0qn] et des entiers xi tel que chacune des n inéquations suivantes soient satisfaites |ta_i-x_i| \le \frac{1}{q}. »

mais la généralité du théorème de Kronecker a un coût, l'absence d'information sur t.

Fonctions analytiques presque périodiques

On imagine fort bien que la théorie des fonctions presque périodiques réelles se généralise aux fonctions complexes, du moins sur un axe. En fait, on l'étend à une bande avec succès (mais pas au plan tout entier, le théorème de Liouville veille !).

Une fonction f(z), continue dans la bande [a,b] est dite presque périodique si pour tout ε > 0, on peut trouver l = l(ε) tel que tout intervalle de longueur l sur l'axe imaginaire contient un nombre iη tel que

|f(z+i\eta)-f(z)| \le \epsilon

pour tout z dans la bande considérée. En d'autres mots, la fonction f(x+iy) est presque périodique en y, uniformément en fonction de x, x restant dans l'intervalle [a,b].

Dans la théorie des fonctions analytiques d'une variable, la méthode de Lindelöf, qui généralise le principe du maximum, permet de montrer le résultat suivant (appelé théorème des trois droites de Doetsch):

« Soit f(z) une fonction analytique bornée dans la bande [a,b]. Soit
M(x)=\sup_{y \in \mathbb{R}}|f(x+iy)|
.

La fonction M(x) est logarithmiquement convexe dans toute bande intérieure à [a,b]:

Si a < x1 < x < x2 < b, on a

\ln M(x) \le \frac{x_2-x}{x_2-x_1}\ln M(x_1) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1}\ln M(x_2).
 »
  • Concernant la théorie des fonctions analytiques complexes presque périodiques dans une bande, en liaison avec le théorème de Fragmen-Lindelöf qui n'est que l'extension du principe du maximum à un ensemble non borné (bande ou secteur angulaire, ici bande) on démontre que la dérivée d'une fonction analytique complexe presque périodique dans une bande [σ1,σ2] est elle-même presque périodique dans la même bande.


  • De tout cela résulte qu'une fonction analytique régulière presque périodique pour une valeur σ est presque périodique dans une bande maximale [σ1,σ2] où elle reste bornée. En dehors de cette bande soit elle n'est plus régulière (pôles, ...) soit elle n'est plus bornée, soit elle cesse d'exister. Sa série de Fourier la représente dans sa bande maximale. Si la fonction redevient presque périodique dans une autre bande, elle y admet une autre série de Fourier.

Références bibliographiques

  • A.S. Besicovitch, Almost periodic functions, Dover, Cambridge, 1954.
  • Favard, Leçons sur les fonctions presque-périodiques, Gauthiers-Villars, Paris, 1933.
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