Fonction eta de Dirichlet

Fonction eta de Dirichlet

Fonction êta de Dirichlet

Représentation de la fonction êta de Dirichlet dans le plan complexe.

La fonction êta de Dirichlet peut être définie par

\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)

où \zeta\, est la fonction zêta de Riemann. Néanmoins, elle peut aussi être utilisée pour définir la fonction zêta. Elle possède une expression en série de Dirichlet, valide pour tout nombre complexe s avec une partie réelle positive, donnée par

\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s}.

Tandis que ceci est convergent seulement pour s avec une partie réelle positive, elle est sommable au sens d'Abel pour tout nombre complexe, qui servent à définir la fonction êta comme une fonction entière, et montre que la fonction zêta est méromorphe avec un pôle singulier en s = 1.

De manière équivalente, nous pouvons commencer par définir

\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x+1}{dx}

qui est aussi définie dans la région de la partie réelle positive. Ceci présente la fonction êta comme une transformation de Mellin.

Hardy a donné une démonstration simple de l'équation fonctionnelle pour la fonction êta, qui est

\eta(-s) = 2 \frac{1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}} \pi^{-s-1} s \sin\left({\pi s \over 2}\right) \Gamma(s)\eta(s+1) .

Cette équation fonctionnelle se déduit immédiatement de celle de la fonction zêta, mais elle est plus complexe car la fonction êta n'est pas une série L de Dirichlet (elle n'est pas déduite d'un caractère de Dirichlet).

Méthode de Borwein

Peter Borwein a utilisé des approximations impliquant les polynômes de Tchebychev pour concevoir une méthode pour une évaluation efficace de la fonction êta. Si d_k = n\sum_{i=0}^k \frac{(n+i-1)!4^i}{(n-i)!(2i)!} alors

\eta(s) = -\frac{1}{d_n} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k(d_k-d_n)}{(k+1)^s}+\gamma_n(s),

où, pour \Re(s) \ge \frac{1}{2} , le terme erroné \gamma_n\, est borné par

\gamma_n(s) \le \frac{3}{(3+\sqrt{8})^n} (1+2|t|)e^{|t|\pi/2}

où t = \Im(s)\,.

Publications

Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34 ou http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/

Voir aussi

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