- Paradoxe des deux enveloppes
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Le paradoxe des deux enveloppes repose sur un raisonnement subtilement fallacieux, mais dont l'erreur est clairement et incontestablement identifiable. En cela, ce n'est nullement un paradoxe[réf. nécessaire], mais un bon exercice de raisonnement probabiliste.
Sommaire
Énoncé
Deux enveloppes contiennent chacune un chèque. On sait que l'un des chèques porte un montant double de l'autre. Le candidat choisit une des enveloppes.
Avant qu'il n'ouvre l'enveloppe, on lui demande s'il souhaite changer d'enveloppe.
Soit N la valeur du chèque dans l'enveloppe choisie en premier. Il y a deux cas possibles :
- une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus important (donc de valeur 2N);
- une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus petit (donc de valeur N / 2).
L'espérance de gain si on change d'enveloppe paraît donc être 0,5 * 2N + 0,5 * N / 2, soit 1,25N, qui est supérieur à N. Il faudrait donc à tout coup changer d'enveloppe (on remarquera que ce résultat est le même si le candidat avait déjà ouvert l'enveloppe, et devait garder le contenu de la dernière enveloppe ouverte).
Or un tel choix parait absurde, puisque les enveloppes ne se distinguent entre elles que par leur nom. On s'attendrait à ce que les enveloppes gardent une espérance de gain égale après ces manipulations indépendantes de leur contenu.
D'ailleurs, si on répétait la manœuvre (rechanger l'enveloppe pour reprendre la même ; c'est pour pouvoir utiliser cet argument que la version proposée du paradoxe demande de choisir avant d'ouvrir), le calcul s'applique encore et on serait censé avoir 1,25 * 1,25N, alors qu'on a retrouvé l'enveloppe initiale !
Explications
Le principal problème posé par l'énoncé du paradoxe sous cette forme résulte dans l'impossibilité d'avoir une valeur de N arbitraire, ce qui implique que si la valeur trouvée dans la première enveloppe est très grande (ou d'ailleurs très petite : penser au cas où la première enveloppe contient 1), on a clairement peu intérêt (ou respectivement beaucoup intérêt) à changer (le fait que l'énoncé du paradoxe demande d'échanger ou non sans ouvrir l'enveloppe rend un peu moins clair que ce soit là la véritable explication de l'absurdité du raisonnement). Plus rigoureusement, il est impossible de définir une distribution de probabilité (une mesure) uniforme sur l'ensemble des entiers, et donc une modélisation probabiliste analogue à celle qui a été esquissée ci-dessus est impossible.Voir aussi
Articles connexes
Liens externes
- (fr) David Madore, Un peu de probabilités
- (en) David J. Chalmers, The Two-Envelope Paradox: A Complete Analysis?
Bibliographie
- (en) [PDF] Albers, Trying to resolve the two-envelope problem, Chapter 2 of his thesis Distributional Inference: The Limits of Reason, December 2002
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