Fonction de Langevin

Fonction de Langevin

La fonction de Langevin est due à Paul Langevin (1872-1946) et se définit par L(x) = \coth (x) - {1 \over x} .

Sommaire

Contexte

La fonction de Langevin apparaît dans la description du paramagnétisme d'un matériau soumis à un champ magnétique uniforme \vec{B}=B\vec{u_z} (ou des systèmes formellement apparentés comme un polymère librement joint soumis à une force de traction constante).

La matériau est décrit par une assemblée de dipôles magnétiques avec un moment magnétique \vec{M}. L'énergie de chaque dipôle est alors U=-\mu \vec{M}\cdot\vec{B}.

Calcul de l'aimantation moyenne

On se place à température fixée (ensemble canonique). Dans ce cas \langle M \rangle l'aimantation moyenne d'un site dans la direction \vec{u_z} est donnée par la loi de Boltzmann : \frac{\int M e^{\frac{\mu \vec{M}\cdot\vec{B}}{kT}}d\Omega}{\int e^{\frac{\mu \vec{M}\cdot\vec{B}}{kT}}d\Omega} où Ω désigne l'angle solide et où l'intégration se fait sur toutes les orientations possibles pour \vec{M}.

Résultat

Des manipulations élémentaires mènent alors à : \langle M \rangle =\mu\left[\coth{\left(\frac{\mu B}{kT}\right)}-\frac{kT}{\mu B}\right]= \mu L\left(\frac{\mu B}{kT}\right) où L est la fonction de Langevin.

Comportement asymptotique

Lorsque la température tend vers zéro on a \langle M \rangle \simeq \mu : l'aimantation sature (les spins sont gelés dans l'état fondamental). Lorsqu'on se place dans la limite des hautes températures \langle M \rangle \simeq 0, l'énergie thermique est très supérieure à l'énergie magnétique (régime "entropique" : les spins ne voient plus le champ magnétique).

Pour x \ll 1, la fonction de Langevin se développe en L(x)=\dfrac{x}{3}-\dfrac{x^3}{45}. Dans le régime des hautes températures, l'aimantation vérifie alors la loi de Curie :

\langle M \rangle = \dfrac{\mu^2B}{3k_BT} = \alpha B avec \alpha\propto \dfrac{1}{T} la suceptibilité magnétique.

De manière plus anecdotique, elle vérifie aussi la relation suivante :

\forall x\in \mathbb{R}^{\star},\quad L(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2x}{x^2+n^2\pi^2}

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction de Langevin de Wikipédia en français (auteurs)

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