Fonction de Langevin

Fonction de Langevin

La fonction de Langevin est due à Paul Langevin (1872-1946) et se définit par L(x) = \coth (x) - {1 \over x} .

Sommaire

Contexte

La fonction de Langevin apparaît dans la description du paramagnétisme d'un matériau soumis à un champ magnétique uniforme \vec{B}=B\vec{u_z} (ou des systèmes formellement apparentés comme un polymère librement joint soumis à une force de traction constante).

La matériau est décrit par une assemblée de dipôles magnétiques avec un moment magnétique \vec{M}. L'énergie de chaque dipôle est alors U=-\mu \vec{M}\cdot\vec{B}.

Calcul de l'aimantation moyenne

On se place à température fixée (ensemble canonique). Dans ce cas \langle M \rangle l'aimantation moyenne d'un site dans la direction \vec{u_z} est donnée par la loi de Boltzmann : \frac{\int M e^{\frac{\mu \vec{M}\cdot\vec{B}}{kT}}d\Omega}{\int e^{\frac{\mu \vec{M}\cdot\vec{B}}{kT}}d\Omega} où Ω désigne l'angle solide et où l'intégration se fait sur toutes les orientations possibles pour \vec{M}.

Résultat

Des manipulations élémentaires mènent alors à : \langle M \rangle =\mu\left[\coth{\left(\frac{\mu B}{kT}\right)}-\frac{kT}{\mu B}\right]= \mu L\left(\frac{\mu B}{kT}\right) où L est la fonction de Langevin.

Comportement asymptotique

Lorsque la température tend vers zéro on a \langle M \rangle \simeq \mu : l'aimantation sature (les spins sont gelés dans l'état fondamental). Lorsqu'on se place dans la limite des hautes températures \langle M \rangle \simeq 0, l'énergie thermique est très supérieure à l'énergie magnétique (régime "entropique" : les spins ne voient plus le champ magnétique).

Pour x \ll 1, la fonction de Langevin se développe en L(x)=\dfrac{x}{3}-\dfrac{x^3}{45}. Dans le régime des hautes températures, l'aimantation vérifie alors la loi de Curie :

\langle M \rangle = \dfrac{\mu^2B}{3k_BT} = \alpha B avec \alpha\propto \dfrac{1}{T} la suceptibilité magnétique.

De manière plus anecdotique, elle vérifie aussi la relation suivante :

\forall x\in \mathbb{R}^{\star},\quad L(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2x}{x^2+n^2\pi^2}

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction de Langevin de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Fonction De Langevin — La fonction de Langevin est due à Paul Langevin (1872 1946) et se définit par . Sommaire 1 Contexte 2 Calcul de l aimantation moyenne 3 Résultat …   Wikipédia en Français

  • Fonction de langevin — La fonction de Langevin est due à Paul Langevin (1872 1946) et se définit par . Sommaire 1 Contexte 2 Calcul de l aimantation moyenne 3 Résultat …   Wikipédia en Français

  • fonction de Langevin — Lanževeno funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Langevin’s function vok. Langevin Funktion, f; Langevinsche Funktion, f rus. функция Ланжевена, f pranc. fonction de Langevin, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Langevin — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Toponymes Bloc Langevin, immeuble d Ottawa abritant le cabinet du Premier ministre canadien Rivière Langevin, fleuve français situé dans le département d… …   Wikipédia en Français

  • Langevin-Funktion — Lanževeno funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Langevin’s function vok. Langevin Funktion, f; Langevinsche Funktion, f rus. функция Ланжевена, f pranc. fonction de Langevin, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Langevin’s function — Lanževeno funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Langevin’s function vok. Langevin Funktion, f; Langevinsche Funktion, f rus. функция Ланжевена, f pranc. fonction de Langevin, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Fonction de Brillouin — La Fonction de Brillouin d ordre J est la fonction mathématique . Elle permet de décrire l aimantation d un solide paramagnétique. Voir aussi Fonction de Langevin …   Wikipédia en Français

  • LANGEVIN-WALLON (PLAN) — LANGEVIN WALLON PLA Élaboré en 1946 et en 1947 par une commission ministérielle présidée par Paul Langevin, puis, après la mort de ce dernier, par Henri Wallon, le plan Langevin Wallon, bien que n’ayant jamais été appliqué en tant que tel, reste …   Encyclopédie Universelle

  • Plan Langevin-Wallon — Le plan Langevin Wallon est le nom donné au projet global de réforme de l enseignement et du système éducatif français élaboré à la Libération conformément au programme de gouvernement du Conseil national de la Résistance (CNR) en date du 15 mars …   Wikipédia en Français

  • Jean Langevin — Pour les articles homonymes, voir Langevin. Mgr Jean Langevin …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”