- Fonction de Gudermann
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En mathématiques, la fonction de Gudermann, appelée aussi parfois gudermannien, et notée gd, nommée en l'honneur de Christoph Gudermann (en) (1798 - 1852), fait le lien entre la trigonométrie circulaire et la trigonométrie hyperbolique sans faire intervenir les nombres complexes.
Sommaire
Définition
La fonction de Gudermann est définie sur l'ensemble des réels par :
La dérivée de la fonction de Gudermann est la fonction
.
Le réel
, appelé parfois gudermannien de
, est relié à ce dernier par les relations :
Fonction réciproque
La réciproque de la fonction de Gudermann est définie sur
par :
La dérivée de cette fonction réciproque est la fonction
.
Applications
- Les coordonnées de Mercator d'un point de la sphère sont définies par
et
.
Elles sont ainsi définies de sorte que les loxodromies de la sphère soient représentées par des droites dans le plan
.
- Le changement de variable
permet de transformer des intégrales de fonctions circulaires en intégrales de fonctions hyperboliques ; par exemple,
.
- Ceci explique pourquoi on peut choisir des fonctions circulaires ou hyperboliques lors de changement de variables dans le calcul d'intégrales :
Quand on rencontre du
, on utilise
ou
, et on utilise aussi
ou
.
Quand on rencontre du
, on utilise
ou
.
- Paramétrisation d'un cercle ou d'une droite hyperbolique.
Si on pose
, on a évidemment une paramétrisation du demi-cercle de rayon 1 dans le demi-plan
0\!" border="0"> ;
est la distance curviligne dans le demi-plan euclidien entre le point
et le point
, et
est aussi une distance, mais mesurée entre ces deux points dans le demi-plan considéré comme demi-plan de Poincaré pour la géométrie hyperbolique.
Voir aussi
Références
- (en) CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323–5.
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gudermannian function » (voir la liste des auteurs)
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