Espace precompact
- Espace precompact
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Espace précompact
Un espace métrique E est précompact si pour tout ε > 0, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules ouvertes de rayons 
.
- Proposition 1 : Soit E un espace métrique compact ; alors E est précompact.
- Démonstration :
- Soit
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0\, " style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/51/3c2a85da9b2f2df7cc2e6b1ac862922e.png" border="0">, alors, 
- Comme une boule ouverte est un ouvert et que E est compact, on peut extraire de ce recouvrement de E par des ouverts un sous recouvrement fini, d'où le résultat.
- Proposition 2 : Soit E un espace métrique complet et précompact, alors E est compact.
- Démonstration :
- On va montrer que E vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass qui est équivalente à Borel-Lebesgue dans les espaces métriques.
- Soit x une suite de E. Recouvrons E par un nombre fini n(0) de boules ouvertes de rayon 20 = 1 :
.
- Une de ces boules contient une infinité I(0) de termes de la suite, appelons-la B0.
- Mais on peut aussi recouvrir E par un nombre n(1) de boules ouvertes de rayon 2 − 1.
- Dans ce cas, il existe une boule B1, de rayon2 − 1, contenant une partie infinie I(1) de I(0)
- (si ce n'était le cas, toute boule B(ai,2 − 1) ne contiendrait qu'un nombre fini d'éléments de I(0), et donc E également, ce qui est absurde)
- on peut itérer le procédé pour obtenir
une suite décroissante de parties infinies et de diamètres tendant vers 0 (car majorés par 2 − k + 1)
- Ainsi, obtient une sous-suite de x, et qui est de Cauchy.
- Par complétude, celle-ci converge dans E.
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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espace precompact de Wikipédia en français (auteurs)
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