Espace precompact

Espace précompact

Un espace métrique E est précompact si pour tout $ε > 0$ , on peut recouvrir E par un nombre fini de boules ouvertes de rayons $\epsilon \,$ .

Proposition 1 : Soit E un espace métrique compact ; alors E est précompact.

Démonstration :

Soit $\epsilon > 0\,$ , alors, $E \subset \bigcup_{x\in E} B(x,\epsilon)$

Comme une boule ouverte est un ouvert et que E est compact, on peut extraire de ce recouvrement de E par des ouverts un sous recouvrement fini, d'où le résultat.
Proposition 2 : Soit E un espace métrique complet et précompact, alors E est compact.

Démonstration :

On va montrer que E vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass qui est équivalente à Borel-Lebesgue dans les espaces métriques.

Soit $x$ une suite de E. Recouvrons E par un nombre fini $n (0)$ de boules ouvertes de rayon $20 = 1$ : $E \subset \bigcup_{i=1}^{n(0)} B(a_{i},1)$ .

Une de ces boules contient une infinité $I (0)$ de termes de la suite, appelons-la $B 0$ .

Mais on peut aussi recouvrir E par un nombre $n (1)$ de boules ouvertes de rayon $2 - 1$ .

Dans ce cas, il existe une boule $B 1$ , de rayon $2 - 1$ , contenant une partie infinie $I (1)$ de $I (0)$

(si ce n'était le cas, toute boule $B (a i,2 - 1)$ ne contiendrait qu'un nombre fini d'éléments de $I (0)$ , et donc E également, ce qui est absurde)

on peut itérer le procédé pour obtenir $I(2),\dots ,I(k) \dots$ une suite décroissante de parties infinies et de diamètres tendant vers 0 (car majorés par $2 - k + 1$ )

Ainsi, obtient une sous-suite de x, et qui est de Cauchy.

Par complétude, celle-ci converge dans E.

$\square$

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Catégorie : Compacité

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