Espace de schwartz

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Espace de Schwartz

En mathématiques, l'espace {\mathcal S} de Schwartz est un espace de fonctions utilisé notamment en théorie des distributions, pour la définition générale de la transformation de Fourier d'une distribution tempérée. La lettre 'S' a été choisie par Schwartz lui même, celui-ci nommant "sphériques" les distributions qu'on appelle de nos jours "tempérées".

Définition

Une fonction f fait partie de l'espace \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) lorsqu'elle est indéfiniment dérivable, et si f et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, c'est-à-dire que leur produit par une fonction polynôme quelconque est borné.

Pour deux multi-indices α,β on peut noter

\|f\|_{\alpha,\beta}=\|x^\alpha D^\beta f\|_\infty\,.

Alors l'espace de Schwartz peut être décrit comme

\mathcal{S} \left(\mathbb{R}^n\right) = 
\{ f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n) 
/\ \forall (\alpha, \beta),\ \|f\|_{\alpha,\beta} < +\infty \}.

S'il n'y a pas d'ambiguïté, l'espace peut être simplement représenté par la lettre \mathcal{S}

Exemples et propriétés

  • Il contient également d'autres éléments comme les fonctions de la forme produit d'un polynôme et d'une gaussienne :
x\mapsto x^\alpha e^{-a \|x\|^2} \in \mathcal{S} pour un certain multi-indice α et un réel a > 0.
  • L'espace \mathcal{S} est un sous-espace vectoriel des différents espaces Lp pour p\in[1;+\infty].
  • Il est stable par dérivation, par multiplication ou même par multiplication par un polynôme
  • La transformation de Fourier est un isomorphisme linéaire de \mathcal{S} dans \mathcal{S}.

Références

L.Schwartz Théorie des distributions et transformation de Fourier Annales de l'Université de Grenoble- T.23, 1948


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