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Espace de Schwartz
En mathématiques, l'espace de Schwartz est un espace de fonctions utilisé notamment en théorie des distributions, pour la définition générale de la transformation de Fourier d'une distribution tempérée. La lettre 'S' a été choisie par Schwartz lui même, celui-ci nommant "sphériques" les distributions qu'on appelle de nos jours "tempérées".
Définition
Une fonction f fait partie de l'espace lorsqu'elle est indéfiniment dérivable, et si f et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, c'est-à-dire que leur produit par une fonction polynôme quelconque est borné.
Pour deux multi-indices α,β on peut noter
Alors l'espace de Schwartz peut être décrit comme
- .
S'il n'y a pas d'ambiguïté, l'espace peut être simplement représenté par la lettre
Exemples et propriétés
- L'espace contient l'espace des fonctions à support compact.
- Il contient également d'autres éléments comme les fonctions de la forme produit d'un polynôme et d'une gaussienne :
- pour un certain multi-indice α et un réel a > 0.
- L'espace est un sous-espace vectoriel des différents espaces Lp pour .
- Il est stable par dérivation, par multiplication ou même par multiplication par un polynôme
- Il est dense dans L2.
- La transformation de Fourier est un isomorphisme linéaire de dans .
Références
L.Schwartz Théorie des distributions et transformation de Fourier Annales de l'Université de Grenoble- T.23, 1948
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