Espace de schwartz

Espace de Schwartz

En mathématiques, l'espace ${\mathcal S}$ de Schwartz est un espace de fonctions utilisé notamment en théorie des distributions, pour la définition générale de la transformation de Fourier d'une distribution tempérée. La lettre 'S' a été choisie par Schwartz lui même, celui-ci nommant "sphériques" les distributions qu'on appelle de nos jours "tempérées".

Définition

Une fonction f fait partie de l'espace $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ lorsqu'elle est indéfiniment dérivable, et si f et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, c'est-à-dire que leur produit par une fonction polynôme quelconque est borné.

Pour deux multi-indices $α,β$ on peut noter

$\|f\|_{\alpha,\beta}=\|x^\alpha D^\beta f\|_\infty\,.$

Alors l'espace de Schwartz peut être décrit comme

$\mathcal{S} \left(\mathbb{R}^n\right) = \{ f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n) /\ \forall (\alpha, \beta),\ \|f\|_{\alpha,\beta} < +\infty \}$ .

S'il n'y a pas d'ambiguïté, l'espace peut être simplement représenté par la lettre $\mathcal{S}$

Exemples et propriétés

L'espace $\mathcal{S}$ contient l'espace des fonctions $\mathcal{C}^\infty$ à support compact.

Il contient également d'autres éléments comme les fonctions de la forme produit d'un polynôme et d'une gaussienne :

$x\mapsto x^\alpha e^{-a \|x\|^2} \in \mathcal{S}$ pour un certain multi-indice α et un réel

a > 0

L'espace $\mathcal{S}$ est un sous-espace vectoriel des différents espaces L^p pour $p\in[1;+\infty]$ .

Il est stable par dérivation, par multiplication ou même par multiplication par un polynôme

Il est dense dans $L 2$ .

La transformation de Fourier est un isomorphisme linéaire de $\mathcal{S}$ dans $\mathcal{S}$ .

Références

L.Schwartz Théorie des distributions et transformation de Fourier Annales de l'Université de Grenoble- T.23, 1948

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Catégories : Espace fonctionnel remarquable | Théorie des distributions

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