Entier cyclotomique
- Entier cyclotomique
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En théorie des nombres, un entier cyclotomique est un entier algébrique appartenant à un corps cyclotomique.
Ces nombres ont été très étudiés par Kummer, qui montra en 1844 qu'ils ne satisfaisaient pas toujours l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.
Définition
Étant donné un nombre premier pair p, une racine primitive de l'unité d'ordre p est un nombre algébrique α (complexe) différent de 1 mais qui, élevé à la puissance p, donne 1 :
- αp = 1.
Toute autre racine β de l'unité peut alors s'écrire comme une puissance de α.
Un entier cyclotomique est une combinaison linéaire à coefficients entiers de puissances entières d'une racine primitive de l'unité.
Par exemple, les entiers cyclotomiques d'ordre 3 sont les nombres complexes s'écrivant sous la forme : 
où a, b et c sont trois entiers relatifs et j est le nombre complexe s'écrivant
.
Voir aussi
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2010.
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