Ensemble nulle part dense

Ensemble nulle part dense

En topologie, un ensemble est nulle part dense ou rare[1] s'il satisfait aux propriétés inverses du concept de densité. Intuitivement, un sous-ensemble A d'un espace topologique X est nulle part dense dans X si presque aucun point de X ne peut être « approché » par des points de A.

Sommaire

Définition

Soit X un espace topologique et A un sous-ensemble de X. A est nulle part dense dans X si l'intérieur de l'adhérence de A est vide. Cela signifie que, pour tout ouvert U non vide de X, il existe un ouvert V non vide inclus dans U et disjoint de A. Ainsi, A n'est dense dans aucune partie ouverte de X. Une telle partie A est également qualifiée de rare.

L'ordre de la définition est important : il est possible de trouver des sous-ensembles denses dont l'adhérence de l'intérieur est vide (c'est le cas des nombres rationnels dans l'ensemble des nombres réels).

Propriétés

Tout sous-ensemble d'un ensemble nulle part dense est nulle part dense et l'union d'un nombre fini d'ensembles nulle part dense est nulle part dense. En revanche, l'union d'un nombre dénombrable d'ensembles nulle part denses n'est pas forcément nulle part dense. Une telle union s'appelle un ensemble maigre ou ensemble de première catégorie.

Exemples

  • L'ensemble des nombres entiers est nulle part dense dans l'ensemble des nombres réels muni de la topologie usuelle.
  • L'ensemble des nombres réels dont le développement décimal ne comporte que les chiffres 0 ou 1 est nulle part dense dans l'ensemble des nombres réels.

Mesure de Lebesgue positive

Un ensemble nulle part dense n'est pas nécessairement de mesure nulle (pour la mesure de Lebesgue). Par exemple, si X est l'intervalle [0,1], il est non seulement possible de trouver un sous-ensemble dense négligeable (celui des nombres rationnels fournit un exemple), mais il existe aussi des sous-ensembles nulle part denses de mesure strictement positive, tels que l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor. On peut également trouver un sous-ensemble de X de première catégorie de mesure égale à 1. Il suffit de prendre une réunion dénombrable d'ensembles de Cantor de mesure 1 - \frac{1}{n}, n parcourant l'ensemble des entiers strictement positifs.

Voir aussi

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Références

  1. ↑ Dans les textes initiaux de René Baire, le vocable utilisé est celui de non dense, ce qui prête à confusion avec le fait de ne pas être un ensemble dense.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Ensemble nulle part dense de Wikipédia en français (auteurs)

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