Dense (mathématiques)
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Densité (mathématiques)
En topologie, le concept de densité d'un sous-ensemble A d'un espace topologique X permet de refléter l'idée que pour tout point x de X on peut trouver un point de A qui soit aussi proche de x que possible. Ainsi, cette notion exprime la « densité », au sens usuel, de répartition des points de A dans X.
Définition
Soit X un espace topologique et A un sous-ensemble de X. On dit que A est dense dans X si pour tout élément x de X, tout voisinage de x contient au moins un point de A.
De façon équivalente, A est dense dans X si le seul sous-ensemble fermé de X contenant A est X lui-même. C’est-à-dire que l'adhérence de A est X, ou que l'intérieur du complémentaire ensembliste de A est vide.
Dans le cas d'un espace métrique, il est possible d'utiliser la définition suivante : l'ensemble A dans un espace métrique X est dense si tout élément x de X est la limite d'une suite d'éléments de A.
Espace topologique séparable
Un espace séparable est un espace topologique possédant un sous-ensemble dense dénombrable.
Point dense
Un point x de X est dense si l'ensemble {x} est dense dans X.
Exemples
Voir aussi
Articles connexes
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Catégorie : Topologie générale
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