Ensemble microcanonique

En physique statistique, l'ensemble microcanonique est l'ensemble des répliques fictives d'un système réel dont l'énergie (E), le volume (V) et le nombre de particule (N) sont fixés. Cet ensemble statistique a une importance particulière, car c'est à partir de celui-ci que le postulat de la physique statistique est défini. Cet ensemble permet aussi de déterminer les ensembles canonique et grand-canonique, à l'aide d'échange d'énergie ou de particules avec un réservoir.

Propriétés

Le système considéré est

• isolé : il ne peut pas échanger de masse ou d'énergie avec l'extérieur
• composé de d'objets microscopique identiques pouvant être des atomes, des molécules, des spins, etc...

Nombre d'état microscopique

Pour une valeur de E , V et N fixe, le système considéré ne peut prendre que certains états internes. La connaissance de tous les paramètres internes du système (de son état) donne ce qu'on appelle un micro-état.

Par exemple, pour un gaz parfait, un micro-état sera composé de l'ensemble de toutes les positions, vitesses, énergies, masses... de chaque particule.

Un macro-état est quant à lui décrit uniquement par des grandeurs comme la pression, la température, le volume, qui ne sont définissables que pour un objet ayant un très grand nombre de particules.

A chaque macro-état, correspond une très grande quantité de micro-états possibles (parfois infinie).

Un objet, dans un macro-état bien précis, ne va pas forcément rester dans le même micro-état. On peut citer l'exemple d'un gaz : même si sa température, son volume... ne changent pas, les particules du gaz continuent de bouger sous l'effet de l'agitation thermique, et donc, son micro-état change en permanence.

Ainsi, connaissant un macro-état, on ne connait pas à l'avance le micro-état dans lequel est le système. Tout juste pouvons-nous savoir quelle est la probabilité d'obtenir tel ou tel micro-état lors d'une mesure.

Postulat

Le postulat de la physique statistique précise pour un système isolé (E, V, N fixés) :

c'est-à-dire les états du système sont également probables.

Si on note p_i la probabilité associé à chaque micro-état i, on obtient alors :

Entropie

Dans l'ensemble microcanonique, l'entropie statistique a été défini par Boltzmann par la relation :

où

• k_B = 1,381.10 ^{− 23}J.K ^{− 1} s'appelle la constante de Boltzmann,
• est le nombre d'états microscopiques du système.

Ensemble micro-canonique en physique quantique

Du point de vue de la mécanique quantique, la connaissance la plus complète que l'on puisse obtenir d'un système est la connaissance de sa fonction d'onde qui est fonction des coordonnées de chacune des molécules du système. Cette fonction d'onde est solution de l'équation de Schrödinger que l'on peut écrire de manière condensée sous la forme

La connaissance de la composition N du système permet d'exprimer l'opérateur hamiltonien , la connaissance de V précise les conditions aux limites auxquelles doit satisfaire . Dans ce cas, la connaissance de l'énergie du système (E), valeur propre de l'équation, permet d'écrire la liste complète de toutes les fonctions propres .

Le nombre total de solution de l'equation de Schrödinger est noté . Ce nombre représente mathématiquement la dimension vectorielle des solutions de l'équation de Schrödinger, et il dépend des variables qui déterminent l'état macroscopique du système. Chaque état microscopique possède, pour un état macroscopique défini, la même énergie E, le même nombre de particules N, et le même volume V.

Mesure d'une grandeur

Sur base de ce qui est dit plus haut, le sens de la mesure d'une grandeur quelconque du système a alors le sens suivant : pendant le temps t que dure la mesure, le système évolue en passant d'un état microscopique (une réplique) à une autre. Toute mesure effectuée est nécessairement une moyenne sur le temps des différents états traversés.

Dans le cas d'un système réel, la fonction d'onde dépend du temps. A tout instant i, on peut, en quelque sorte, « photographier » le système dans un état microscopique particulier, c'est-à-dire en avoir une réplique particulière (représentée par la fonction d'onde , solution de l'équation de Schrodïnger). Or nous possédons théoriquement la liste des fonctions d'onde permises et nous connaissons donc tous les états microscopiques par lesquels le système est susceptible de passer.

En résumé, la fonction d'onde totale solution du système réel, est équivalente à un ensemble de fonctions d'onde réplique du système dans chacun des états particuliers qu'il est susceptible d'occuper

Supposons maintenant la mesure de la grandeur . Sur base du postulat, et en considérant un ensemble de réplique d'un système où chaque réplique figure en un même nombre d'exemplaire (par exemple, une fois chacune), la valeur de la grandeur dans chaque réplique sera notée :

La moyenne de cette grandeur calculée avec l'ensemble des répliques est alors la somme (sur tous les états microscopiques du système considéré) de la probabilité d'être dans l'état i multiplié par la valeur X_i de cet état :

D'après l'hypothèse ergodique, cette moyenne doit coïncider avec la valeur moyenne mesurée sur le système réel et est définie par

Voir aussi

Tableau résumant les ensembles en physique statistique	Ensembles
	Microcanonique	Canonique	Grand-canonique
Variables indépendantes	E, N, V ou B	T, N, V ou B	T, μ, V ou B
Fonction microscopique	nombre des micro-états Ω	Fonction de partition canonique	Fonction de partition grand-canonique
Potentiel thermodynamique	Entropie	Energie libre	Grand potentiel

Bibliographie

• Bernard Diu, Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roulet, Éléments de physique statistique, 1996 [détail de l’édition] 

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