Ensemble bien ordonné
- Ensemble bien ordonné
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Un ensemble ordonné ( E, ≤ ) est bien ordonné et la relation ≤ est un bon ordre si la condition suivante est satisfaite :
- Toute partie non vide de E possède un plus petit élément.
Si ( E, ≤ ) est bien ordonné alors ≤ est nécessairement un ordre total, c'est-à-dire que deux éléments quelconques x et y de E sont toujours comparables. En effet, l'ensemble { x , y } possède un plus petit élément, donc on a x ≤ y ou y ≤ x.
Si de plus l'axiome du choix dépendant est vérifié, cette propriété (être bien ordonné) est équivalente à dire qu'il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante. D'après le théorème de Zermelo, l'axiome du choix dans toute sa force équivaut au fait que tout ensemble peut être bien ordonné, et donc peut être rendu isomorphe à un ordinal.
Exemples
- L'ensemble vide, muni du seul ordre qui y soit possible : ( Ø, Ø ) (c'est le plus petit ordinal).
- L'ensemble des entiers naturels, muni de l'ordre habituel des entiers : (
) , souvent noté ω dans ce contexte (c'est le plus petit ordinal infini).
- Plus généralement, tout ordinal est, par définition, bien ordonné.
- Toute partie d'un ensemble bien ordonné est elle-même bien ordonnée (pour l'ordre induit).
- Par contre, un ensemble ordonné non vide qui n'a pas de plus petit élément (comme celui des entiers relatifs ou comme l'intervalle réel ]0,1[, munis de leurs ordres usuels) n'est pas bien ordonné, par définition.
Subtilités
Soit ( E, ≤ ) est un ensemble bien ordonné non vide.
- Il a un plus petit élément, mais peut (comme dans le cas E=ω, l'ensemble des entiers) ne pas en avoir de plus grand ; mais rien n'empêche de lui en ajouter un — c'est le tout début d'une construction naïve des ordinaux transfinis.
- Soit α un élément de E : si α n'est pas le plus grand élément de E, il existe, parmi les éléments de E strictement supérieurs à α, un plus petit élément β, appelé successeur de α et noté souvent α+1, dont α est le prédécesseur.
- Un élément de E a au plus un prédécesseur ; le plus petit élément n'en a évidemment pas et c'est le seul cas pour E=ω, mais en général, dans un ensemble bien ordonné E, beaucoup d'éléments n'ont pas de prédécesseur — c'est ce qui fait le charme des ordinaux transfinis. Pensez, pour avoir une petite idée, au dictionnaire de tous les mots finis construits à partir d'un alphabet fini ou infini bien ordonné. Un élément de E ayant un prédécesseur est dit de première espèce (ou successeur), et de deuxième espèce (ou limite) sinon, et s'il n'est pas le plus petit élément de E. Cette distinction est souvent utile pour raisonner par récurrence transfinie.
Théorème
Voir aussi
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Ensemble bien ordonné de Wikipédia en français (auteurs)
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