- Ensemble infini
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En mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, un ensemble infini est un ensemble qui n'est pas fini, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun moyen de « compter » les éléments de cet ensemble à l'aide d'un ensemble borné d'entiers. Plus précisément un ensemble E est infini si, pour aucun entier naturel n, il n'existe de bijection de { 0,1, ... , n - 1 } (les entiers naturels strictement inférieurs à n) dans cet ensemble E.
Un ensemble en bijection avec un ensemble infini est donc infini. On montre que l'ensemble N des entiers naturels est infini au sens de cette définition (voir l'article ensemble fini), et donc tout ensemble dénombrable est infini. On en déduit que tout ensemble contenant un ensemble dénombrable est infini.
En théorie des ensemble, l'axiome de l'infini permet de construire l'ensemble des entiers naturels[1], qui est alors un ensemble infini. Avec les seuls autres axiomes de ZFC on ne peut montrer l'existence d'ensembles infinis.
On montre, en utilisant l'axiome du choix dénombrable, que tout ensemble infini contient un ensemble dénombrable. Dedekind, avait proposé (dans son mémoire (de)Was sind und was sollen dies Zahlen ?, ce que sont les nombres et à quoi servent-ils ?) une autre définition d'ensemble infini : un ensemble E est infini s'il est équipotent à une de ses parties propres. Un ensemble dénombrable, et donc tout ensemble contenant un ensemble dénombrable est infini au sens de Dedekind. Réciproquement tout ensemble infini au sens de Dedekind contient un ensemble dénombrable. Il est donc infini au sens ci-dessus, et les définitions sont équivalentes en présence de l'axiome du choix dénombrable. Dans la théorie de Zermelo-Fraenkel (sans axiome du choix), on ne peut exclure l'existence d'ensemble infinis qui ne le sont pas au sens de Dedekind. L'existence de tels ensembles, prise comme axiome, est malgré tout plus faible que l'axiome du choix dénombrable. Pour plus de détails, voir l'article Ensemble infini au sens de Dedekind (en).
Notes et références
- Il est possible de représenter les entiers en théorie des ensembles, par les ordinaux finis ; α est un ordinal fini si tout ordinal non nul inférieur ou égal à α possède un prédécesseur. L'entier n est alors l'ordinal fini { 0,1, ... , n - 1 }, de sorte qu'un ensemble est fini exactement s'il est équipotent à un entier. Ces définitions ne nécessitent pas l'axiome de l'infini, qui énoncé essentiellement l'existence de l'ensemble des entiers naturels, Cf Jean-Louis Krivine, Théorie axiomatique des ensembles, P.U.F. Paris 1972 p. 38. Il est également possible de donner une définition équivalente d'ensemble fini qui ne fait pas référence aux entiers, comme celle de Russell et Whitehead ou celle de Tarski, voir Ensemble fini#Les définitions de Tarski et de Russell-Whitehead ou Roland Fraïssé, Logique mathématique, Vol.I, Gauthier-Villars Paris 1971, pp.12-13-14.
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